## 🎨 Visuaalne seletus: Wreath Product

Kujutame ette järgmist olukorda:

- Sul on **rühm $A$**, mis esindab näiteks **tulesid**, mida saab sisse või välja lülitada (nt $\mathbb{Z}_2$).
- Sul on **rühm $B$**, mis esindab **lülitite paigutust** (nt $\mathbb{Z}_3$, kolme positsiooniga).

Wreath product $A \wr B$ tähendab, et:

- Iga **positsioon** $b \in B$ saab oma **valguse** $a_b \in A$,
- Rühm $B$ saab **nihutada** neid positsioone, muutes, milline tuli on kus.

See on nagu **valguspaneel**, kus iga tuli on seotud kindla kohaga, aga keegi saab kogu paneeli pöörata või ümber paigutada.

---

## 🧮 Praktiline näide: $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_3$

- $\mathbb{Z}_2 = {0, 1}$: iga tuli on kas **väljas $(0)$** või **sees $(1)$**.
- $\mathbb{Z}_3 = {0, 1, 2}$: kolm positsiooni.

Element $(f, b)$ wreath productis tähendab:

- Funktsioon $f: \mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_2$, nt $f = (1, 0, 1)$ — tuled 0 ja 2 on sees.
- Element $b = 1 \in \mathbb{Z}_3$ — nihutame positsioone ühe võrra edasi.

Siin on skeem, mis illustreerib **wreath product'i** $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_3$ toimimist:

![Wreath product Z2 wr Z3 diagramm](data:image/png;base64,[encoded data, 35716 characters])

### Selgitus:

- **Vasakul**: algne seisund, kus iga positsioonil $(0, 1, 2)$ on oma tuli (kollane = sees, hall = väljas).
    - Funktsioon $f = [1, 0, 1]$: positsioonid 0 ja 2 on sees.
- **Paremal**: pärast $\mathbb{Z}_3$ tegevust — **nihutame kõik positsioonid ühe võrra edasi**.
    - Tulemuseks on uus funktsioon $f' = [1, 1, 0]$, kuna tuled nihkuvad.

Sinised nooled näitavad, kuidas tuled liiguvad positsioonide vahel.

---

Kas soovid ka **teoreetilist üldistust** või **teise näite** mõne muu rühmaga?