**Poisson’i jaotus** sobib transpordis siis, kui modelleeritakse **harvaesinevaid, sõltumatuid sündmusi aja‑ või ruumialal**. Peamised rakendused:

| Probleem                                                                         | Mis loetakse “sündmuseks”                                                                                  |
| -------------------------------------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| **Liikluse voogude intensiivsus**                                                | Autode/veokite arv, mis läbivad kindla punkti (nt tolli, valgustusrahu) ühe minuti või tunni jooksul.      |
| **Õnnetuste ja avariide esinemine**                                              | Arv õnnetusi teatud teelõigus, ristmikul või lennujaama territooriumil kindla aja jooksul.                 |
| **Tehnilised tõrked / rikete ilmnemine**                                         | Raudtee‑/metroosüsteemi komponentide (signaalid, lülitused) rikke arv päevas või nädalas.                  |
| **Juhuslikud sõidupeatused**                                                     | Peatumiste arv bussipeatuses või trammipeatuses ühe tunni jooksul, kui peatumine on juhuslik ja sõltumatu. |
| **Kohaletoimetamise tellimuste saabumine**                                       | Tellimuste (pakki) jõudmise arv lattu või logistika keskuses minutis/tunnis.                               |
| **Väikeste sõidukite (nt jalgratturite, skuuterride) ilmnemine teatud ala sees** | Jalgsi- või rattasõidu sündmuste arv parkimisala või jalakäijate tsooni kohta tunnis.                      |

**Miks Poisson?**  
- Sündmused on **harvad** (keskmine arv ≪ 1 per üksus).  
- Iga sündmus toimub **sõltumatult** eelmisest.  
- Intensiivsus (λ) on konstantne või saab mudeldada kui funktsiooni ajast/ruumist.

Seega Poisson’i jaotust kasutatakse transpordis **voogude, õnnetuste, rikete ning juhuslike tellimuste/peatumiste** kvantifitseerimiseks, mis aitab planeerida ressursse (tolliametnikud, hooldustööd), hinnata riske ja optimeerida teenuse taset.

---
**Binoomjaotust** kasutatakse transpordis siis, kui on teada kindel arv katsetusi (nt sõidu‑ või läbitud vahemaa üksused) ja soovitakse hinnata tõenäosust, et nendes üksustes saavutatakse teatud arv “edu” – näiteks õnnestunud sündmuseid. Peamised rakendused:

| Probleem | Mida modelleerib |
|----------|-----------------|
| **Kogukonna/korraldaja sõiduplaan** | Kui  n  juhuslikku sõitu (või trammipeatusesse saabuvate busside) pakutakse, kui tõenäoline on, et vähemalt k neist jõuab õigel ajal? |
| **Võimsuse või koormuse hindamine** | N‑kordne kontroll, kas sõiduk suudab läbitud vahemaal (n  km) teha vähemalt k  edukat kiiruse‑või kütusesäästu‑testi. |
| **Kasutajate valik / reisimise otsus** | Iga reisija teeb “katse” – valida konkreetne marsruut. Binoomjaotus annab tõenäosuse, et k  reisijatidest valib antud marsruudi (edukas valik). |
| **Kvaliteedikontroll logistikas** | Pakitud kaubad läbivad n  kontrollpunkti; binomijaotusega arvutatakse tõenäosus, et vähemalt k  pakki vastab kvaliteedinõuetele. |
| **Ületõrje või viivituste prognoosimine** | Kui teatud marsruudil on teada n  potentsiaalset takistust (nt valgusefektiivsed ristmikud), siis binomijaotus näitab tõenäosust, et k  neist põhjustab tegelikku viivitust. |
| **Sõidukite sõidu‑/peatumiste edukus** | Iga peatuse korral on “edu” = auto suudab peatuda ohutult. N‑katse (peatuste arv) annab binomijaotusega tõenäosuse, et k  neist on edukad. |

**Kokkuvõte** – binoomjaotus sobib olukordades, kus:  
1. on fikseeritud katsete arv (sõidud, kontrollid, valikud).  
2. iga katse lõppeb “eduga” või “ebaõnnestumisega”.  

Sellistes transpordiprobleemides aitab binoomjaotus kvantifitseerida usaldusväärsust, planeerida ressursse ja hinnata riskide taset.

---
**Negatiivne binaomijaotus (NB‑jaotus)** modelleerib **“kuni k‑nda edu”** või “korduste arv enne soovitud sündmuse toimumist”. Transpordis seda kasutatakse siis, kui on oluline teada, mitu katset või vahepealset sündmust kulub ühe kindla positiivse tulemuse (eduka sõidu, toimiva süsteemi) saavutamiseks.

| Probleem | NB‑jaotuse “õnnestumine” |
|----------|---------------------------|
| **Sõidukite kättesaadavus enne nõutavat teenust** | Korduste arv (nt tühjade sõidukite asendused, varuosade vahetused) enne esimest edukat sõitu. |
| **Kaugemale marsruudile jõudmine ilma katkestuseta** | Kui palju “katkestusi” (peatumisi, viivitusi) tekib enne k‑nda järjestikust õnnestunud läbimist (nt 3 korda ilma peatuseta). |
| **Lennukite või rongide käivituste edukad startid** | Katsete arv (valmisoleku kontrollid) kuni esimese “start” õnnestumiseni. |
| **Logistika – tellimuse täitmise esimene õige pakkimine** | Kui palju pakendamise katseid on vaja enne k‑nda korrektselt komplekteeritud saadetise. |
| **Kasutajate ooteaeg teeninduspunktis** | Ootejärjekorras olevate “ebaõnnestumiste” (valed piletid, vale suunamine) arv enne k‑nda õige juhendamise või pileti väljastamist. |
| **Tollikontroll – esimene vaba läbimine** | Katsete arv (kontrolli ületused) kuni esimese “vaba” läbitud sõidu (ilma trahvita). |

**Miks NB‑jaotus?**  
- Huvitav on **korduste arv enne edu**, mitte kindel proovi koguarv.  
- Sobib olukordades, kus sündmused on **sõltumatud** ja “edu” tõenäosus püsib konstantne igas katses.  

Seega negatiivset binaomijaotust kasutatakse transpordis **katsete/vea‑arvu prognoosimiseks enne soovitud edukat tulemust**, mis aitab planeerida varuosi, tööjõudu ja teeninduse efektiivsust.

---
**Tracy–Widomi jaotus** kirjeldab suurima (või väiksema) omaväärtuse statistikat juhuslike maatriksite spektris. Transpordis see tuleb kasuks siis, kui analüüsitakse **ekstreemseid (tipp‑ või minimaalseid) koormusi või jõudlusi**, mis on seotud suurte jaotus‑ või korrelatsioonimaatriksitega.

| Probleemi tüüp | Kuidas Tracy–Widomi jaotust rakendatakse |
|----------------|-------------------------------------------|
| **Liikluse võimsusmaatriksid** (nt OD‑voogude matrix) | Suurim omaväärtus näitab **maksimaalset koormust/konkurentsi** teatud marsruudi‑võrgus. Tracy–Widomi jaotusega hinnatakse, kui tõenäoline on see tipp‑koormus juhusliku kõikumise korral. |
| **Kauguste või reisi‑aegade korrelatsioonimaatriksid** | Suurim omaväärtus kajastab **peamist “põhikomponenti”**, mis määrab kogu süsteemi viivituse. Jaotus aitab modelleerida äärmuslikke viivitusi (nt suured liiklusummikud). |
| **Transpordivõrgu stabiilsus** (võrgustiku‑robustusanalüüs) | Kui võrku rikutakse juhuslike ebaõnnestumistega, siis suurim omaväärtus jälgib **kriitilist läve**, mille ületamisel võrk laguneb. Tracy–Widomi jaotus annab tõenäosuse äärmuslikeks “katkestusteks”. |
| **Lennuliikluse või laevanduse portfelli riskianalüüs** | Kasutades korrelatsioonimaatriksit lennu‑/meretranspordi tulude vahel, suurim omaväärtus näitab **maksimaalset süsteemiriski**. Jaotust kasutatakse riskijuhtimise äärmuslike stsenaariumide hindamiseks. |
| **Joonistuste või sõidukite kogus jaotuse maksimaalsed koormused** (nt GPS‑andmete põhjal koostatud tiheduse maatriks) | Tracy–Widomi jaotus kirjeldab **suurimat tihedust** (tipp‑koormust) juhuslikus punktipilves, võimaldades prognoosida haruldasi, kuid kriitilisi ületõrke olukordi. |
| **Optimeerimise algoritmide konvergensi analüüs** (nt spektraalne meetod suurte marsruutivõrkude lahendamiseks) | Suurim omaväärtus määrab **konvergentsikiiruse**; Tracy–Widomi jaotus aitab hinnata, kui tõenäoline on ebasoodsad “kõrge‑energia” olukorrad, mis aeglustavad algoritmi. |

### Miks just Tracy–Widom?
1. **Ekstreemsus** – keskendub suurimale (või väiksemale) omaväärtusele, mitte keskmisele käitumisele.
2. **Universaalsus** – jaotus on sama erinevate juhuslike maatriksite klasside (GOE, GUE, Wishart jt) korral, mis teeb seda rakendatavaks mitmesugustes transpordimudelites.
3. **Skaleeritavus** – sobib hästi suurte võrkude (tuhandeid sõlme/edge‑e) analüüsimiseks, kus traditsioonilised tavalised jaotused ei anna täpset äärmuslikkuse hinnangut.

### Kuidas praktiliselt kasutada?
1. **Koguge andmed** – näiteks OD‑voogude maatriks, reisi‑aegade korrelatsioonimaatriks või võrgu‑adaptsioonide kaalu‑maatriks.
2. **Arvutage maatriksi suurim omaväärtus** (või selle jaotuse Monte Carlo simulatsiooni abil).
3. **Standardiseerige** – kasutades Tracy–Widomi keskväärtust ja skaleerimist (nõuab asjakohast maatriksiklassi, nt Wishart‑jaotus).
4. **Võrrelge saadud väärtus teoreetilise Tracy–Widomi tihedusega**, et hinnata äärmusliku koormuse tõenäosust.
5. **Tõlgendage tulemust** – kõrge tail‑tõenäosus (väike p‑väärtus) viitab sellele, et antud koormus on statistiliselt ebatavaline ja vajab täiendavat planeerimist või riskimaandmist.

**Kokkuvõte:** [[Tracy–Widomi jaotus]] aitab transpordis **modelleerida ja kvantifitseerida äärmuslikke koormusi, viivitusi, riske ja süsteemi lagunemise läve**, mis on kriitiline suurte, korrelatsiooni‑ või spektraalsete võrkude turvalise ja efektiivse juhtimise jaoks.

---

## Kiirülevaade transpordiplaneerimise kirjanduses esinevatest jaotustest

| Jaotus | Miks on see liiklusmahtude analüüsis kasulik | Näide tüüpilisest kasutusjuhust |
|--------|-----------------------------------------------|----------------------------------|
| **Poisson** | Loendab sündmusi (sõidukeid), mis toimuvad sõltumatult ja hõredalt; dispersioon ≈ keskmine → sobilik, kui nõudlus on **väga madal**. | Maanteel tipptunni sõidukite saabumiste modelleerimine sulustuslaadsel perioodil, kus liiklus on ainult ~10 % pandeemiaeelsest tasemest. |
| **Negatiivne binoomjaotus** | Käsitleb üledispersseid loendusi (dispersioon > keskmine), mida Poisson ei suuda tabada – levinud, kui päevadevahelised nõudluse kõikumised on suured. | Igapäevaste sõidukite koguarvu hindamine linna magistraalil, kus tööpäevade tipptunnid ja nädalavahetuse langused tekitavad lisavariatiivsust. |
| **Normaaljaotus / lognormaaljaotus** | Kui liita palju sõltumatuid vooge, muudab keskväärtuste teoreem (log)normaalse kuju **keskmiste** mahtude või kiiruste puhul mõistlikuks. | 24‑tunni keskmise voolu prognoosimine maanteel; loenduste logaritmimine dispersiooni stabiliseerimiseks enne regressiooni. |
| **Gamma** | Paindlik paremale kaldu kuju; kasutatakse sageli reisiaja, intervallide või saabumisvahede jaotuse, mitte aga toorete sõidukite arvude jaoks. | Järjestikuste busside ajavahede jaotuse modelleerimine tipptunni teeninduses. |
| **Weibull** | Veel üks kalduvussõbralik perekond; kasulik, kui vajad selgeid "skaala" ja "kuju" parameetreid (nt töökindlusanalüüs). | Päevaste liiklusmahtude hajuvuse kirjeldamine mitme sarnase teelõigu lõikes, et tuvastada erindeid. |

### Mida veeb tegelikult ütles

- Ainus konkreetne allikas on MDPI artikkel, mis **soovitab selgesõnaliselt Poisson'it** madala nõudlusega, mäluta sõidukite saabumiste jaoks (≈10 % pandeemiaeelsest tasemest).
- AI enda märkus mainib, et põhjalikum kirjanduse ülevaade lisaks negatiivse binoomjaotuse, lognormaaljaotuse, Weibull'i ja Gamma jaotuse teiste populaarsete valikutena – seega ülaltoodud tabel kajastab neid sageli tsiteeritud alternatiive, kuigi neid fragmendis otseselt ei tsiteeritud.

**Kokkuvõte:** Hõredate loenduste puhul → Poisson; üledisperssete või väga muutlike päevaste summade puhul → negatiivne binoomjaotus; agregeeritud keskmiste või kiiruste puhul → (log)normaaljaotus; kalduvate ajavahede või mahtude jaotuste puhul → Gamma/Weibull. 🚦✨
