## Sissejuhatus  

Transpordiplaneerimises kasutatakse statistilisi jaotusi peamiselt **kahe eesmärgi** jaoks:  

1. **Kirjeldada (modelleerida) olemasolevaid andmeid** – näiteks sõidukite arvu, reisi kestust või kiirusejaotust.  
2. **Ennetada (ennustada) tulevasi olukordi**, kasutades saadud jaotusparameetreid sisendiks demand‑modelitesse, võrgusimulaatoritesse vms.

Allpool on loetletud kõige levinumad jaotused, millel on kindlad rakendusvaldkonnad transpordiplaneerimises. Iga jaotuse juures on lühike teoreetiline kirjeldus, tüüpilised parameetrid ning **konkreetne näide**, kuidas seda praktikas kasutatakse.

---

## 1. Arvu‑jaotus (diskreetsete andmete modelleerimine)

| Jaotus                         | Peamised omadused                                                                                                                         | Tüüpiline kasutusvaldkond                                                                                                                                | Näiteparameetrid & illustratsioon                                                                                                                                                                                                     |
| ------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| **Poissoni jaotus**            | Sündmuste arv fikseeritud ajavahemikus, sündmused sõltumatud. Var(µ)=E(X)=µ.                                                              | - Liiklusevoogude loendamine (sõidukite/peatuste arv tunnis). <br>‑ Avariide või õnnetuste sagedus väikeste piirkondade kohta.                           | **Näide:** Sõiduautode arvu mõõdetakse 1 km pikkusel teel ühe tunni jooksul. Keskmine voog on 12 sõidukit/tund → X ~ Poisson(µ=12). <br> P(X≥20) = 1‑∑_{k=0}^{19} e^{-12}·12^k/k! ≈ 0,07 (7 % tõenäosus, et voog ületab 20 sõidukit). |
| **Negatiivne binomiaaljaotus** | Ülepoissoni dispersioon – var > keskmine. Sobib “üleküllastunud” loendandmetele. Parameetrid: r (edetabel), p (tõenäosus) või µ ja kappa. | - Sõiduautode arv tipptundidel, kus voog on väga muutlik.<br>‑ Avalike transpordiviiside kasutajate päevased reisijaarvud (sagedane “null‑inflatsioon”). | **Näide:** Hooldus- või tööpäeva jooksul registreeritakse busside sõiduplaanist kõrvalekalded. Keskmine arv on 4, kuid var = 8 → sobib negatiivse binomiaaliga: X ~ NB(r=2, p=0,5).                                                   |
| **Multinomi jaotus**           | Kategooriate (valikute) arvu >2; summeerub 1‑le. Parameetrid on tõenäosused p₁,…,p_k.                                                     | - Reisimooduste jaotumine (jalgsi, auto, ühistransport, jalgratas).<br>‑ Valitud marsruudi osakaal võrguanalüüsis.                                       | **Näide:** 1000 reisija valib igapäevaselt: auto – 600, bussi – 250, trammiga – 150 → (p_auto=0.6, p_buss=0.25, p_tramm=0.15).                                                                                                        |
| **Poissoni‑mixtuur**           | Kombineerib mitu Poissoni protsessi; sobib heterogeensetele voogudele (nt hommik ja õhtu eraldi).                                         | - Sõidukite arv mitmes ajavahemikus, kus on selged tipptunnid.                                                                                           | **Näide:** Hommikul 7–9 h: λ₁=20; õhtul 16–18 h: λ₂=30 → X_total = X₁+X₂, kus X₁~Poisson(20), X₂~Poisson(30).                                                                                                                         |

---

## 2. Järjepikkuse‑ ja reisi­aega modelleerivad **kontinuumsjaotused**

| Jaotus | Tüüpilised omadused (toetus- ja tihedusfunktsioon) | Transpordis kasutusvaldkond | Näide |
|--------|---------------------------------------------------|----------------------------|-------|
| **Lognormaalne** | X = exp(Y), Y~N(μ,σ²). Positiivne, paremal kaldu. Parameetrid: μ (log‑keskmine) ja σ (log‑hajutuse standardhälve). | - Reisi­pikkuste ja reisi­aegade jaotus.<br>- Sõidu- või veokite koormusjaotused (kaalu, mahtu). | **Näide:** Uurimuses on 500 auto sõitnud keskmiselt 12 km (log‑keskmine μ=2.4) ning σ=0.5. Tõenäosus, et reis >20 km: P(X>20)=1-Φ[(ln 20–μ)/σ]≈0,18 (18 %). |
| **Weibulli** | f(x)=k/λ·(x/λ)^{k‑1}·exp[−(x/λ)^k], x≥0. Parameetrid: skaalafaktor λ ja vormikordaja k. Sobib eluea‑taolistele andmetele, kus hazard‑funktsioon muutub. | - Reisi­ajade (eriti tipptundide) usaldusvahemike modelleerimine.<br>- Kiiruse- või tiirlemise ajavahemiku jaotus. | **Näide:** Tippreisi kestus X~Weibull(k=1,5, λ=8 min). Tõenäosus, et reisi aeg >12 min: exp[−(12/8)^{1,5}]≈0,30 (30 %). |
| **Gamma** | f(x)=x^{α‑1} e^{-x/β}/[Γ(α) β^α], x>0. Parameetrid: kujundus α ja skaalafaktor β. | - Sõidu­ajate jaotused, kui andmed on paremini kirjeldatud parema vasaku kaldega.<br>- Võimsuse‑tarbimise modelleerimine (nt elektriautode laadimisaja). | **Näide:** Laadimisaeg Y~Gamma(α=3, β=10 min) → E(Y)=30 min. P(Y>45 min)=1–F_{Γ}(45;3,10)≈0,19 (19 %). |
| **Normaalne** | Sümmeetriline, toetub keskmisele μ ja standardhälbele σ. Sobib hästi “keskmist” käitumist kirjeldavatele andmetele. | - Reisi­aegade keskväärtuse modelleerimine (pärast log‑muundamist).<br>- Trafikuliikluste kiiruse keskmine, kui variatsioon on väike. | **Näide:** Keskmine sõiduauto kiirus 50 km/h, σ=5 km/h → P(kiirus <40)≈Φ[(40–50)/5]=Φ(-2)=0,0228 (≈2,3 %). |
| **Beta** | Toetus [0,1]; kujundus sõltub α ja β. Sobib piiratud muutujatele (nt kasutuse osakaal). | - Reisi‑ajastandardi usaldusvahemikud (normeeritud 0–1).<br>- Transpordivõrgu koormustaseme skoorid. | **Näide:** Koormustase Z~Beta(α=2, β=5) → keskmine 0,285. Tõenäosus, et koormus >0,6: 1‑F_{β}(0,6;2,5)=≈0,03 (3 %). |

---

## 3. Valikute ja marsruutide modelleerimine – **logit‑jaotused**

| Jaotus / mudel                            | Põhimõte                                                                                                                                  | Parameetrid                                     | Transpordis kasutusnäited                                                                                                                                          |
| ----------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| **Multinomi-Logit (MNL)**                 | Valiku tõenäosus:  $\displaystyle P_i =\frac{e^{V_i}}{\sum_j e^{V_j}}$ , kus $V_i=\beta'X_i + ε_i$. Eraldiseisvad Gumbeli‑jaotusega vead. | Vektor β (kasutajate omadused, hind, aeg jne.). | - Reisimooduste prognoos: auto vs bussi vs jalgratas.<br>- Reisija valik erinevate parkimisvõimaluste vahel.                                                       |
| **Nested Logit**                          | Grupi sees on korrelatsioon; sisemine Gumbeli‑jaotus (nest). Parameeter λ mõõdab seose tugevust.                                          | β, λ (0<λ≤1) igas “nests”.                      | - Valik auto → parkimisvõimalus (tasuline/ tasuta), seejärel valik konkreetne parklapaik.<br>- Ühistranspordi reisi‑valiku hierarhia: liin > sõiduauto.            |
| **Mixed Logit (Random Parameters Logit)** | Parameetrid β on juhuslikud jaotusega, võimaldab individuaalset heterogeensust.                                                           | Keskmine β̄, dispersioon Σ.                     | - Personaalse taseme reisimooduste prognoos, kus iga reisija hindab hinda erinevalt.<br>- Sõidu‑ja jalgrattareisijate hinnanguline väärtus (väärtuse variatsioon). |
| **Probit**                                | Valikuvead on normaaljaotusega. Sobib olukordadesse, kus valikuvigade korrelatsioon on tugev ja sümmeetriline.                            | β, Σ (korrelatsiooni maatriks).                 | - Reisi‑valikud, millel on sarnased alternatiivid (nt mitu bussi liini sama suunaga).                                                                              |

*Illustratiivne näide MNL-st:*  
Reisija valib kolme reisimooduse vahel. Kasutades järgmisi omadusi: hind H (EUR), reisiaeg T (min) ja keskkonnamõju E (CO₂ kg). Utility funktsioon:

$$
V_{\text{auto}} = -0,25\,H - 0,10\,T - 0,05\,E\\
V_{\text{buss}} = -0,15\,H - 0,12\,T - 0,02\,E\\
V_{\text{jalgratas}} = -0,08\,H - 0,20\,T + 0,00\,E
$$

Arvutades $P_i=e^{V_i}/\sum e^{V_j}$ saame näiteks: P_auto=0,45; P_buss=0,35; P_jalgratas=0,20. Need tõenäosused sisestatakse demand‑modelli järgmise aasta reisijate prognoosi.

---

## 4. **Reisi- ja liiklususaldusväärsuse (travel‑time reliability)**

Usaldusväärsusanalüüs kasutab sageli:

| Jaotus | Miks? | Tüüpilised meetmed |
|--------|-------|--------------------|
| **Lognormaalne** | Reisi­aeg on positiivne ja tihti paremal kaldu (pikad “kõrvalekalded”). | 95‑% usaldusvahemik, koefitsient of variation (CV). |
| **Weibulli / Gamma** | Paindlikku vormi tõttu sobivad nii “varased” kui ka “aeglised” reisimudelid. | Skewness, reliability index (RBI). |
| **Beta** (normeeritud) | Kiiruse‑ või takistustaseme suhteline muutuvus 0–1 skaalal. | BRT (Bottleneck Reliability), Travel Time Index (TTI). |

*Näide:*  
Tunnisõidu keskmine reisi aeg on 30 min, σ=6 min, lognormaalse jaotusega. 95‑% usaldusvahemik:

$$
L_{0.025}=e^{\mu-1{,}96\sigma_{\ln}} \approx 22\,\text{min},\qquad
U_{0.975}=e^{\mu+1{,}96\sigma_{\ln}} \approx 41\,\text{min}.
$$

See annab planeerijale teavet, milliseid infrastruktuurimuutusi (nt lisarada) on vaja “tipptundide” usaldusväärsuse parandamiseks.

---

## 5. **Joonte ja võrkude simulatsioonid – Queuing‑jaotused**

| Jaotus | Rakendus | Parameetrid |
|--------|----------|-------------|
| **Eksponentsiaalne** (Interarrival times) | Sõiduautode saabumise aeg ühelt sensorilt. | λ = keskmine saabumissagedus (s⁻¹). |
| **Erlangi / Gamma** (Teenindusaeg) | Valgustussignaali või ristmikute läbimise aeg, kui teenindus on mitme etapi kombinatsioon. | k (etappide arv), θ (iga etapi keskmine kestus). |
| **M/M/1 ja M/G/1 jooned** | Liiklusvoogude võimekuse hindamine; ooteaeg, süsteemi koormus ρ = λ·E(S). | λ, µ (=1/E(S)), variatsioon. |

*Illustratiivne arvutus:*  
Ristmikul on keskmine saabumissagedus λ=0,9 sõidukit/s (54 sõidukit/min) ja teenindusaeg eksponentsiaalselt jaotatud µ=1,2 s⁻¹. Süsteemi koormus ρ = λ/µ = 0,75 → stabiilne. Keskmine ooteaeg:

$$
W_q=\frac{ρ}{µ(1-ρ)}=\frac{0,75}{1,2·0,25}=2,5 s.
$$

Kui koormus tõuseb ρ=0,95 (tipp), siis W_q≈31 s – sellega saab hinnata vajadust valgustussignaali optimeerimiseks.

---

## 6. **Õnnetuste ja turvalisuse modelleerimine**

| Jaotus | Põhjus | Tüüpilised rakendused |
|--------|-------|----------------------|
| **Poissoni** | Õnnetusi loetakse harvade, sõltumatute sündmustena fikseeritud ajavahemikus. | - Avariide arv teatud km‑pikkusel või aja jooksul.<br>- Sõidukite õnnetusjuhtude sageduse hindamine. |
| **Negatiivne binomiaal** (ülepoissoni) | Kui var > keskmine, nt “kollaps” tipptundidel. | - Ristmikute või tunnelite kriitilised punktid.<br>- Kaug- ja kohalike õnnetuste võrdlus. |
| **Zero‑inflated Poisson / NB** | Paljudes piirkondades ei esine ühtegi õnnetust (null‑mass). | - Väikeste asulate või madala liiklusega teede analüüs. |

*Näide:*  
Kohalikus linnas on 12 väikest ristmikku, igaüks näitab keskmiselt 0,8 õnnetust/aasta. Poissoni mudel annab var=0,8; aga tegelik variatsioon on 1,6 → NB parameetrid r≈2, p≈0,71. See võimaldab planeerijal suunata ohutustegevusi just neile ristmikutele, kus õnnetusriski ületab Poissoni‑ootust.

---

## 7. **Kokkuvõte – Jaotuste valik ja parameetriseerimine**

| Andmetüüp | Parimad kandidaatid jaotus(t) | Kuidas valida? |
|-----------|-------------------------------|----------------|
| *Arv (loendus)* | Poisson → NB → mixtuur | Kontrolli var‑keskmine suhet; kui var≫µ, kasuta NB. |
| *Järjepikkus / reisi­aeg* | Lognormaalne, Weibull, Gamma | Visualiseeri histogrammi ja Q‑Q plot’i; vali see, mis annab parima sobivuse (AIC/BIC). |
| *Valikud* | MNL → Nested/ Mixed logit | Hinnake alternatiivide korrelatsiooni – kui on hierarhiline struktuur, kasuta nested. |
| *Usaldusväärsus / reliabiliteet* | Lognormaalne, Weibull, Beta (normeeritud) | Kontrolli sümmeetriat; lognormaalsus sobib paremini “kõrvale” suunatud andmetele. |
| *Jooned & ooteajad* | Eksponentsiaalne / Gamma (M/M/1, M/G/1) | Kas teenindusaeg on konstant või varieeruv? |
| *Õnnetused* | Poisson → NB → zero‑inflated mudelid | Analüüsi nullide osakaalu ja dispersiooni. |

**Parameetriseerimise tööriistad:**  
- **Maximum Likelihood Estimation (MLE)** – enamikus statistika‑pakettides (R, Python `statsmodels`, Stata).  
- **Metoodiline momentid** – kiire hinnang esialgseteks väärtusteks.  
- **Bayesi lähenemine (MCMC)** – eriti segamudelite ja hierarhiliste logitide puhul.

---

## 8. Lõppsõna  

Statistilised jaotused on transpordiplaneerimise “keel”, millega kirjeldame olemasolevaid nähtusi ning loome usaldusväärseid prognoose tulevikuks. Õige jaotus valib **andmete tüüp, hajuvuse taseme** ja **analüüsi eesmärgi** järgi. Praktikas kasutatakse sageli mitme jaotuse kombinatsiooni (näiteks segatud Poissoni + NB või lognormaalse reisi‑aja + multinomi‑logit reisijate modeeli sisendina). 

Kui sul on konkreetne andmekogum (nt liiklusvood, reisimooduste küsitlused vms) ja vajad abi parimajaotusliku mudeli valimisel või koodi näitel, anna julgelt teada – aitan koostada täpsema analüüsi!