Algebras mõiste **"wreath product"** (eesti keeles sageli "põimikkorrutis") tuleb peamiselt **rühmateooriast**, kuid seda kasutatakse ka **algebrailistes struktuurides** nagu poolrühmad, Lie-algebrad ja teised. See on viis kahe algebra või rühma kombineerimiseks viisil, mis säilitab teatud sümmeetria ja struktuuri.

### Wreath product rühmateoorias

Kui sul on kaks rühma $A$ ja $B$, siis nende **wreath product** $A \wr B$ on ligikaudu öeldes:

- **Pooldirektne korrutis** rühmade vahel, kus:
    - $A^B$ on funktsioonide hulk $B \to A$ (ehk iga $b \in B$ saab oma $A$-elemendi),
    - $B$ tegutseb selle funktsioonide hulga peal nihutades argumente.

Formaalne definitsioon: $(A \wr B) = A^B \rtimes B$

See tähendab, et:

- Iga element on kujul $(f, b)$, kus $f: B \to A$ ja $b \in B$,
- Korrutamine toimub reegli järgi: $(f_1, b_1)(f_2, b_2) = (f_1 \cdot (f_2 \circ b_1^{-1}), b_1 b_2)$

### Intuitsioon

Wreath product on kasulik näiteks **automaatide teoorias**, **kombinatoorikas** ja **grupi tegevustes**, kus üks rühm "kontrollib", kuidas teine rühm käitub või muutub.

### Näide

Kui võtame $A = \mathbb{Z}_2$ (kaheelemendiline tsükliline rühm) ja $B = \mathbb{Z}_3$, siis $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_3$ on rühm, mis koosneb kolmest koopiafunktsioonist $\mathbb{Z}_3 \to \mathbb{Z}_2$ ja $\mathbb{Z}_3$ enda elementidest, mis määravad, kuidas neid funktsioone permuteeritakse.

---

Kui soovid, võin tuua ka visuaalse skeemi või näite konkreetse algebra või rühma kohta. Kas sind huvitab rohkem **rakendus**, **visuaalne seletus**, või **seos mõne muu matemaatika valdkonnaga**?

Meie vestluses teemal **"Mis on algebras 'wreath product'"** käsitlesime järgmist:

- **Wreath product** (eesti keeles sageli "pärjatoode") on **matemaatiline konstruktsioon**, mida kasutatakse peamiselt **rühmateoorias**, kuid seda võib kohata ka **algebras ja teistes abstraktse algebra harudes**.
- See on **kombinatsioon kahest rühmast**: üks toimib teise rühma koopiate peal, mis on organiseeritud mingi indekseerimisstruktuuri (nt loenduvate elementide hulk) järgi.
- Wreath producti kasutatakse sageli **keerukamate rühmade konstrueerimiseks** väiksematest ja lihtsamatest rühmadest.
- Tüüpiline tähistus on näiteks $A \wr B$, kus $A$ on "baasrühm" ja $B$ on "toimiv rühm".
- Seda kasutatakse ka **automaatide teoorias**, **kooditeoorias**, ja **kombinatoorikas**, eriti kui on vaja kirjeldada **sümmeetriaid või korduvaid struktuure**.

Kui soovid, võin lisada ka näiteid või visuaalse skeemi, mis aitab paremini mõista, kuidas wreath product töötab. Kas soovid seda?

Vaatame üht lihtsat **näidet wreath productist rühmateoorias**, kasutades kahte hästi tuntud rühma:

### Näide: $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$

Siin:

- $\mathbb{Z}_2$ on kaheelemendiline tsükliline rühm (sisaldab elemente 0 ja 1, liitmisega moodulis 2).
- Wreath product $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$ tähendab, et meil on:
    - **baasrühm**: funktsioonid $f: \mathbb{Z}_2 \to \mathbb{Z}_2$, ehk kõik võimalikud määrangud kaheelemendilisele hulgale.
    - **toimiv rühm**: teine $\mathbb{Z}_2$, mis permuteerib baasrühma elementide asukohti.

### Samm-sammuline kirjeldus:

1. **Baasrühm** koosneb kõigist funktsioonidest $f: {0,1} \to \mathbb{Z}_2$. Neid on kokku $2^2 = 4$ (iga sisendi jaoks 2 valikut).
2. **Toimiv rühm** $\mathbb{Z}_2$ permuteerib neid kahte sisendit (0 ja 1), st kas jätab nad samaks või vahetab ära.
3. Wreath producti elemendid on kujul $(f, \sigma)$, kus $f$ on funktsioon ja $\sigma$ on permutatsioon.

### Kokkuvõttes:

Rühm $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$ sisaldab 8 elementi ja on isomorfne **dihedraalse rühmaga $D_4$**, mis kirjeldab ruudu sümmeetriate hulka (pöörded ja peegeldused).

Kas soovid, et joonistan ka skeemi, mis näitab, kuidas see wreath product töötab visuaalselt?

Siin on skeem, mis illustreerib **wreath producti $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_2$**:

![Wreath product Z2 wr Z2 diagram](data:image/png;base64,[encoded data, 37396 characters])

### Selgitus skeemi kohta:

- **Sõlmed** tähistavad kõiki võimalikke funktsioone $f: {0,1} \to \mathbb{Z}_2$. Kokku on neid 4.
- **Nooled** tähistavad **toimiva rühma $\mathbb{Z}_2$** tegevust — antud juhul permutatsiooni, mis **vahetab sisendid 0 ja 1**.
- Kui näiteks funktsioon $f$ määrab $f(0) = 1$ ja $f(1) = 0$, siis permutatsiooniga "swap" saame uue funktsiooni, kus väärtused on vahetatud.

See skeem aitab visualiseerida, kuidas **wreath product** ühendab funktsioonid ja permutatsioonid üheks keerukamaks struktuuriks.

Kas soovid ka näidet mõne teise rühmaga, näiteks $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}_3$ või visuaali koos selgitava animatsiooniga?

