---
tags:
  - statistika
---

**Gamma-jaotus** on pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse laialdaselt statistilises modelleerimises, eriti siis, kui on tegemist ooteaegade, riskide või summadega pärast teatud arvu sündmusi. See on üldistus eksponentsiaaljaotusele, mis on gamma-jaotuse erijuht.

---

### Peamised parameetrid
Gamma-jaotusel on kaks tüüpilist parameetristikku:
- **Kuju $k$ (või $\alpha$)** – määrab jaotuse kuju. Kui $k=1$, taandub see eksponentsiaaljaotuseks. Kui $k$ on suur, läheneb jaotus normaaljaotusele.
- **Skala $ \theta $** või **kiirus (rate) $\beta = 1/\theta $** – määrab jaotuse venitust/kokkusurumist. Kasutatakse kahte levinud tähistust:
  - Kujul $\text{Gamma}(k, \theta)$ – $\theta$ on skaala
  - Kujul $\text{Gamma}(k, \beta)$ – $\beta$ on kiirus (inverse scale)

Tihedusfunktsioon (PDF) on:
$$
f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0
$$
kus $\Gamma(k)$ on gammafunktsioon (faktoriaali üldistus reaalarvudele).

---

### Olulised tunnused
- **Keskväärtus**: $E[X] = k \theta = k / \beta$
- **Dispersioon**: $\text{Var}[X] = k \theta^2 = k / \beta^2$
- **Mood**: $(k-1)\theta$, kui $k \ge 1$
- **Tugi**: $x > 0$ (positiivsed reaalarvud)

---

### Kasutusalad
1. **Ooteajad**: Gamma-jaotus modelleerib aega $k$ sündmuse toimumiseni Poissoni protsessis (nt masina rikked, klienditeeninduse järjekorrad).
2. **Kindlustusmatemaatika**: Kahjusummade jaotuse modelleerimine.
3. **Bayesi statistika**: Kasutatakse Poissoni ja eksponentsiaaljaotuste eeljaotusena (konjugeeritud eeljaotus).
4. **Hüdroloogia**: Sademete hulga või jõe vooluhulga modelleerimine.
5. **Töökindlus**: Süsteemide eluea analüüs.

---

### Seos teiste jaotustega
- **[[Eksponentjaotus]]**: $\text{Gamma}(1, \theta)$
- **[[Hii-ruut jaotus]]**: $\chi^2(\nu) = \text{Gamma}(\nu/2, 2)$  
- **[[Erlangi jaotus]]**: Gamma kujul, kus $k$ on täisarv.

Jah, **eksponentjaotus** ja **eksponentsiaaljaotus** on sama tõenäosusjaotuse kaks erinevat nimetust eesti keeles. Tegemist on pideva tõenäosusjaotusega, mida kasutatakse laialdaselt näiteks:

- sündmuste vaheliste ajavahemike modelleerimiseks (Poissoni protsessis),
- usaldusväärsuse analüüsis (seadmete eluea modelleerimine),
- järjekorrateoorias ja riskianalüüsis.

### Olulised omadused:
- **Tihedusfunktsioon**: \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)   (x ≥ 0, λ > 0)
- **Keskmine**: \( 1/\lambda \)
- **Hajuvus**: \( 1/\lambda^2 \)
- **Mäluvaba omadus**: \( P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) \) – see tähendab, et minevik ei mõjuta tuleviku ootust.

### Terminoloogia selgitus:
- **Eksponentjaotus** – lühem ja otsetõlkevariant inglise keele sõnast *exponential distribution*.
- **Eksponentsiaaljaotus** – täpsem tõlge, mis rõhutab matemaatilist seost eksponentsiaalfunktsiooniga ( \(\lambda e^{-\lambda x}\) ).

Mõlemad terminid on korrektsed ja tähistavad üht ja sama jaotust. Soovitan oma töös (näiteks Obsidianis märkmete tegemisel) valida üks nimetus ja seda järjepidevalt kasutada, et vältida segadust.

Kokkuvõttes: **need on sünonüümid** – erinevus on ainult nimekujus, mitte matemaatilises sisus.