---
tags:
  - statistika
---
Weibulli jaotus on pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse laialdaselt eluea- ja töökindlusanalüüsis, samuti ilmastiku ja muude andmete modelleerimisel. Selle jaotuse paindlikkus tuleneb kahest peamisest parameetrist, mis võimaldavad kujundada erinevaid kuju – alates eksponentsiaaljaotusest kuni normaaljaotuse lähendini.

### Põhiparameetrid
- **Kujuparameeter (k või β)** – määrab jaotuse kuju:
  - k < 1 → vähenev rikkesagedus (sobib algfaasi riketele, nt “lapsepõlve” rikked)
  - k = 1 → eksponentsiaaljaotus (püsiv rikkesagedus)
  - k > 1 → kasvav rikkesagedus (nt vananemisest tingitud rikked)
- **Skaalaparameeter (λ või η)** – määrab jaotuse “venivuse” ja on seotud iseloomuliku elueaga (63,2% toodetest peavad vastu skaala väärtuseni).
- Mõnikord lisatakse ka nihkeparameeter (γ), mis määrab, millisest hetkest jaotus algab.

### Tõenäosusfunktsioon
Tihedusfunktsioon:  
$$f(x; \lambda, k) = \frac{k}{\lambda} \left( \frac{x}{\lambda} \right)^{k-1} e^{-(x/\lambda)^k}, \quad x \ge 0$$

Jaotusfunktsioon:  
$$F(x; \lambda, k) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}$$

### Kasutusvaldkonnad
- **Töökindlustehnika**: masinate, elektroonikakomponentide eluea prognoosimine.
- **Meteoroloogia**: tuulekiiruse, sademete hulga modelleerimine.
- **Meditsiin**: patsientide elulemusaja analüüs.
- **Materjaliteadus**: materjalide purunemistugevuse kirjeldamine.
- Yuuleenergia modelleerimine.

### Miks on Weibulli jaotus populaarne?
- See suudab modelleerida nii vähenevaid kui ka kasvavaid rikkesagedusi.
- Parameetreid saab hõlpsasti hinnata (nt maksimaalse tõepära meetodiga või Weibulli tõenäosusgraafiku abil).
- On tihedalt seotud eksponentsiaal- ja Rayleigh` jaotusega (k=2 annab Rayleigh`).

---
## AgenticSeek vastus

**Weibull‑jaotus – lühike ülevaade**

Weibull‑jaotus on pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse laialdaselt eluea‑ ja usaldusväärsusanalüüsis. Jaotuse tihedusfunktsioon (PDF) $x\ge 0$‑le on

$$
f(x;\lambda,k)=\frac{k}{\lambda}\Bigl(\frac{x}{\lambda}\Bigr)^{k-1}
\exp\!\big[-(x/\lambda)^k\big],
$$

kus
* **$k>0$** – kujuparameeter (shape), määrab jaon “terve‑või‑surnud” käitumise,
* **$\lambda>0$** – skaala‑parameeter (scale).

Kumulatiivne jaotusfunktsioon (CDF) on

$$
F(x;\lambda,k)=1-\exp\!\big[-(x/\lambda)^k\big].
$$

Olulised omadused:
* Keskmine $E[X]=\lambda\,\Gamma\!\left(1+\frac{1}{k}\right)$.
* Variatsioon $\operatorname{Var}(X)=\lambda^{2}\Big[\Gamma\!\bigl(1+\tfrac{2}{k}\bigr)-\Gamma\!\bigl(1+\tfrac{1}{k}\bigr)^{2}\Big]$.
* Hazard‑funktsioon $h(x)=\dfrac{k}{\lambda}\left(\dfrac{x}{\lambda}\right)^{k-1}$; seega hazard väheneb, on konstantne või kasvab sõltuvalt sellest, kas $k<1$, $k=1$ (eksponeentsiaaljaotus) või $k>1$.
* **Weibull‑plot**: graafik $\ln[-\ln(1-F(x))]$ versus $\ln x$; sirge kalle annab sujuparameetri $k$, intercept $-k\ln\lambda$.

---

### Weibull‑jaotuse kasutamine liiklusplaneerimises

| Rakendus | Kuidas ja miks Weibull‑jaotust kasutatakse |
|----------|--------------------------------------------|
| **1. Sõiduaja usaldusväärsus** | Sõiduaja andmed (nt põhimaanteedel või kiirteedel) sobitatakse Weibull‑tihedusfunktsiooniga. Parameetrite $k$ ja $\lambda$ abil arvutatakse usaldusväärsusindeksid nagu Buffer Time Index ja Planning Time Index. Suurem $k$ (terav jaotus) tähendab ühtlasemat liiklust, väiksem $k$ – suuremat varieerumist tipptundidel. |
| **2. Teekatete kulumine ja hooldus** | Weibull‑hazardfunktsiooni kasutatakse aja modelleerimiseks, mil tee saavutab etteantud seisundinäitaja (nt pragunemine või roobastumine). Pikaajalised toimivusandmed annavad hinnangu $k$‑ ja $\lambda$-parameetritele, mille alusel saab ajastada ennetavaid remonditöid ja optimeerida eelarvet. |
| **3. Õnnetuste kõrvaldamisaeg (ummikute kestus)** | Kõrvaldamisajad sobitatakse Weibull‑kumulatiivsesse jaotusse. Kui $k>1$, hazard kasvab – õnnetus tõenäoliselt laheneb kiiresti; kui $k<1$, hazard väheneb – võimalikud on pikemaajalised häired. Mudel aitab ennustada viivitusi eri õnnetusliikide puhul ja hinnata reageerimisstrateegiate tõhusust. |

**Kokkuvõte**
Weibull‑jaotus pakub paindlikku matemaatilist raamistikku, kus kujuparameeter $k$ kirjeldab sündmuste varieerumist (väike = suur hajuvus, suur = ühtlane). See muudab selle suurepäraseks tööriistaks liiklusplaneerijatele: see võimaldab täpseid usaldusväärsusanalüüse, ennustab infrastruktuuri kulumisprotsesse ja aitab hallata õnnetuste jadasid.

*(Väike huumoripilk: kui juhtud liiklusvooge nikerdama, on Weibull nagu mitmeotstarbeline tööriist – see mitte ainult ei lõika puud!)*

---
### Seotud mõisteted:
[[Eksponentjaotus]], [[Rayleigh jaotus]], [[Rikkesagedus]], [[Tõenäosusjaotus]].