## Sissejuhatus Transpordiplaneerimises kasutatakse statistilisi jaotusi peamiselt **kahe eesmärgi** jaoks: 1. **Kirjeldada (modelleerida) olemasolevaid andmeid** – näiteks sõidukite arvu, reisi kestust või kiirusejaotust. 2. **Ennetada (ennustada) tulevasi olukordi**, kasutades saadud jaotusparameetreid sisendiks demand‑modelitesse, võrgusimulaatoritesse vms. Allpool on loetletud kõige levinumad jaotused, millel on kindlad rakendusvaldkonnad transpordiplaneerimises. Iga jaotuse juures on lühike teoreetiline kirjeldus, tüüpilised parameetrid ning **konkreetne näide**, kuidas seda praktikas kasutatakse. --- ## 1. Arvu‑jaotus (diskreetsete andmete modelleerimine) | Jaotus | Peamised omadused | Tüüpiline kasutusvaldkond | Näiteparameetrid & illustratsioon | | ------------------------------ | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | | **Poissoni jaotus** | Sündmuste arv fikseeritud ajavahemikus, sündmused sõltumatud. Var(µ)=E(X)=µ. | - Liiklusevoogude loendamine (sõidukite/peatuste arv tunnis).
‑ Avariide või õnnetuste sagedus väikeste piirkondade kohta. | **Näide:** Sõiduautode arvu mõõdetakse 1 km pikkusel teel ühe tunni jooksul. Keskmine voog on 12 sõidukit/tund → X ~ Poisson(µ=12).
P(X≥20) = 1‑∑_{k=0}^{19} e^{-12}·12^k/k! ≈ 0,07 (7 % tõenäosus, et voog ületab 20 sõidukit). | | **Negatiivne binomiaaljaotus** | Ülepoissoni dispersioon – var > keskmine. Sobib “üleküllastunud” loendandmetele. Parameetrid: r (edetabel), p (tõenäosus) või µ ja kappa. | - Sõiduautode arv tipptundidel, kus voog on väga muutlik.
‑ Avalike transpordiviiside kasutajate päevased reisijaarvud (sagedane “null‑inflatsioon”). | **Näide:** Hooldus- või tööpäeva jooksul registreeritakse busside sõiduplaanist kõrvalekalded. Keskmine arv on 4, kuid var = 8 → sobib negatiivse binomiaaliga: X ~ NB(r=2, p=0,5). | | **Multinomi jaotus** | Kategooriate (valikute) arvu >2; summeerub 1‑le. Parameetrid on tõenäosused p₁,…,p_k. | - Reisimooduste jaotumine (jalgsi, auto, ühistransport, jalgratas).
‑ Valitud marsruudi osakaal võrguanalüüsis. | **Näide:** 1000 reisija valib igapäevaselt: auto – 600, bussi – 250, trammiga – 150 → (p_auto=0.6, p_buss=0.25, p_tramm=0.15). | | **Poissoni‑mixtuur** | Kombineerib mitu Poissoni protsessi; sobib heterogeensetele voogudele (nt hommik ja õhtu eraldi). | - Sõidukite arv mitmes ajavahemikus, kus on selged tipptunnid. | **Näide:** Hommikul 7–9 h: λ₁=20; õhtul 16–18 h: λ₂=30 → X_total = X₁+X₂, kus X₁~Poisson(20), X₂~Poisson(30). | --- ## 2. Järjepikkuse‑ ja reisi­aega modelleerivad **kontinuumsjaotused** | Jaotus | Tüüpilised omadused (toetus- ja tihedusfunktsioon) | Transpordis kasutusvaldkond | Näide | |--------|---------------------------------------------------|----------------------------|-------| | **Lognormaalne** | X = exp(Y), Y~N(μ,σ²). Positiivne, paremal kaldu. Parameetrid: μ (log‑keskmine) ja σ (log‑hajutuse standardhälve). | - Reisi­pikkuste ja reisi­aegade jaotus.
- Sõidu- või veokite koormusjaotused (kaalu, mahtu). | **Näide:** Uurimuses on 500 auto sõitnud keskmiselt 12 km (log‑keskmine μ=2.4) ning σ=0.5. Tõenäosus, et reis >20 km: P(X>20)=1-Φ[(ln 20–μ)/σ]≈0,18 (18 %). | | **Weibulli** | f(x)=k/λ·(x/λ)^{k‑1}·exp[−(x/λ)^k], x≥0. Parameetrid: skaalafaktor λ ja vormikordaja k. Sobib eluea‑taolistele andmetele, kus hazard‑funktsioon muutub. | - Reisi­ajade (eriti tipptundide) usaldusvahemike modelleerimine.
- Kiiruse- või tiirlemise ajavahemiku jaotus. | **Näide:** Tippreisi kestus X~Weibull(k=1,5, λ=8 min). Tõenäosus, et reisi aeg >12 min: exp[−(12/8)^{1,5}]≈0,30 (30 %). | | **Gamma** | f(x)=x^{α‑1} e^{-x/β}/[Γ(α) β^α], x>0. Parameetrid: kujundus α ja skaalafaktor β. | - Sõidu­ajate jaotused, kui andmed on paremini kirjeldatud parema vasaku kaldega.
- Võimsuse‑tarbimise modelleerimine (nt elektriautode laadimisaja). | **Näide:** Laadimisaeg Y~Gamma(α=3, β=10 min) → E(Y)=30 min. P(Y>45 min)=1–F_{Γ}(45;3,10)≈0,19 (19 %). | | **Normaalne** | Sümmeetriline, toetub keskmisele μ ja standardhälbele σ. Sobib hästi “keskmist” käitumist kirjeldavatele andmetele. | - Reisi­aegade keskväärtuse modelleerimine (pärast log‑muundamist).
- Trafikuliikluste kiiruse keskmine, kui variatsioon on väike. | **Näide:** Keskmine sõiduauto kiirus 50 km/h, σ=5 km/h → P(kiirus <40)≈Φ[(40–50)/5]=Φ(-2)=0,0228 (≈2,3 %). | | **Beta** | Toetus [0,1]; kujundus sõltub α ja β. Sobib piiratud muutujatele (nt kasutuse osakaal). | - Reisi‑ajastandardi usaldusvahemikud (normeeritud 0–1).
- Transpordivõrgu koormustaseme skoorid. | **Näide:** Koormustase Z~Beta(α=2, β=5) → keskmine 0,285. Tõenäosus, et koormus >0,6: 1‑F_{β}(0,6;2,5)=≈0,03 (3 %). | --- ## 3. Valikute ja marsruutide modelleerimine – **logit‑jaotused** | Jaotus / mudel | Põhimõte | Parameetrid | Transpordis kasutusnäited | | ----------------------------------------- | ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- | ----------------------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | | **Multinomi-Logit (MNL)** | Valiku tõenäosus: $\displaystyle P_i =\frac{e^{V_i}}{\sum_j e^{V_j}}$ , kus $V_i=\beta'X_i + ε_i$. Eraldiseisvad Gumbeli‑jaotusega vead. | Vektor β (kasutajate omadused, hind, aeg jne.). | - Reisimooduste prognoos: auto vs bussi vs jalgratas.
- Reisija valik erinevate parkimisvõimaluste vahel. | | **Nested Logit** | Grupi sees on korrelatsioon; sisemine Gumbeli‑jaotus (nest). Parameeter λ mõõdab seose tugevust. | β, λ (0<λ≤1) igas “nests”. | - Valik auto → parkimisvõimalus (tasuline/ tasuta), seejärel valik konkreetne parklapaik.
- Ühistranspordi reisi‑valiku hierarhia: liin > sõiduauto. | | **Mixed Logit (Random Parameters Logit)** | Parameetrid β on juhuslikud jaotusega, võimaldab individuaalset heterogeensust. | Keskmine β̄, dispersioon Σ. | - Personaalse taseme reisimooduste prognoos, kus iga reisija hindab hinda erinevalt.
- Sõidu‑ja jalgrattareisijate hinnanguline väärtus (väärtuse variatsioon). | | **Probit** | Valikuvead on normaaljaotusega. Sobib olukordadesse, kus valikuvigade korrelatsioon on tugev ja sümmeetriline. | β, Σ (korrelatsiooni maatriks). | - Reisi‑valikud, millel on sarnased alternatiivid (nt mitu bussi liini sama suunaga). | *Illustratiivne näide MNL-st:* Reisija valib kolme reisimooduse vahel. Kasutades järgmisi omadusi: hind H (EUR), reisiaeg T (min) ja keskkonnamõju E (CO₂ kg). Utility funktsioon: $$ V_{\text{auto}} = -0,25\,H - 0,10\,T - 0,05\,E\\ V_{\text{buss}} = -0,15\,H - 0,12\,T - 0,02\,E\\ V_{\text{jalgratas}} = -0,08\,H - 0,20\,T + 0,00\,E $$ Arvutades $P_i=e^{V_i}/\sum e^{V_j}$ saame näiteks: P_auto=0,45; P_buss=0,35; P_jalgratas=0,20. Need tõenäosused sisestatakse demand‑modelli järgmise aasta reisijate prognoosi. --- ## 4. **Reisi- ja liiklususaldusväärsuse (travel‑time reliability)** Usaldusväärsusanalüüs kasutab sageli: | Jaotus | Miks? | Tüüpilised meetmed | |--------|-------|--------------------| | **Lognormaalne** | Reisi­aeg on positiivne ja tihti paremal kaldu (pikad “kõrvalekalded”). | 95‑% usaldusvahemik, koefitsient of variation (CV). | | **Weibulli / Gamma** | Paindlikku vormi tõttu sobivad nii “varased” kui ka “aeglised” reisimudelid. | Skewness, reliability index (RBI). | | **Beta** (normeeritud) | Kiiruse‑ või takistustaseme suhteline muutuvus 0–1 skaalal. | BRT (Bottleneck Reliability), Travel Time Index (TTI). | *Näide:* Tunnisõidu keskmine reisi aeg on 30 min, σ=6 min, lognormaalse jaotusega. 95‑% usaldusvahemik: $$ L_{0.025}=e^{\mu-1{,}96\sigma_{\ln}} \approx 22\,\text{min},\qquad U_{0.975}=e^{\mu+1{,}96\sigma_{\ln}} \approx 41\,\text{min}. $$ See annab planeerijale teavet, milliseid infrastruktuurimuutusi (nt lisarada) on vaja “tipptundide” usaldusväärsuse parandamiseks. --- ## 5. **Joonte ja võrkude simulatsioonid – Queuing‑jaotused** | Jaotus | Rakendus | Parameetrid | |--------|----------|-------------| | **Eksponentsiaalne** (Interarrival times) | Sõiduautode saabumise aeg ühelt sensorilt. | λ = keskmine saabumissagedus (s⁻¹). | | **Erlangi / Gamma** (Teenindusaeg) | Valgustussignaali või ristmikute läbimise aeg, kui teenindus on mitme etapi kombinatsioon. | k (etappide arv), θ (iga etapi keskmine kestus). | | **M/M/1 ja M/G/1 jooned** | Liiklusvoogude võimekuse hindamine; ooteaeg, süsteemi koormus ρ = λ·E(S). | λ, µ (=1/E(S)), variatsioon. | *Illustratiivne arvutus:* Ristmikul on keskmine saabumissagedus λ=0,9 sõidukit/s (54 sõidukit/min) ja teenindusaeg eksponentsiaalselt jaotatud µ=1,2 s⁻¹. Süsteemi koormus ρ = λ/µ = 0,75 → stabiilne. Keskmine ooteaeg: $$ W_q=\frac{ρ}{µ(1-ρ)}=\frac{0,75}{1,2·0,25}=2,5 s. $$ Kui koormus tõuseb ρ=0,95 (tipp), siis W_q≈31 s – sellega saab hinnata vajadust valgustussignaali optimeerimiseks. --- ## 6. **Õnnetuste ja turvalisuse modelleerimine** | Jaotus | Põhjus | Tüüpilised rakendused | |--------|-------|----------------------| | **Poissoni** | Õnnetusi loetakse harvade, sõltumatute sündmustena fikseeritud ajavahemikus. | - Avariide arv teatud km‑pikkusel või aja jooksul.
- Sõidukite õnnetusjuhtude sageduse hindamine. | | **Negatiivne binomiaal** (ülepoissoni) | Kui var > keskmine, nt “kollaps” tipptundidel. | - Ristmikute või tunnelite kriitilised punktid.
- Kaug- ja kohalike õnnetuste võrdlus. | | **Zero‑inflated Poisson / NB** | Paljudes piirkondades ei esine ühtegi õnnetust (null‑mass). | - Väikeste asulate või madala liiklusega teede analüüs. | *Näide:* Kohalikus linnas on 12 väikest ristmikku, igaüks näitab keskmiselt 0,8 õnnetust/aasta. Poissoni mudel annab var=0,8; aga tegelik variatsioon on 1,6 → NB parameetrid r≈2, p≈0,71. See võimaldab planeerijal suunata ohutustegevusi just neile ristmikutele, kus õnnetusriski ületab Poissoni‑ootust. --- ## 7. **Kokkuvõte – Jaotuste valik ja parameetriseerimine** | Andmetüüp | Parimad kandidaatid jaotus(t) | Kuidas valida? | |-----------|-------------------------------|----------------| | *Arv (loendus)* | Poisson → NB → mixtuur | Kontrolli var‑keskmine suhet; kui var≫µ, kasuta NB. | | *Järjepikkus / reisi­aeg* | Lognormaalne, Weibull, Gamma | Visualiseeri histogrammi ja Q‑Q plot’i; vali see, mis annab parima sobivuse (AIC/BIC). | | *Valikud* | MNL → Nested/ Mixed logit | Hinnake alternatiivide korrelatsiooni – kui on hierarhiline struktuur, kasuta nested. | | *Usaldusväärsus / reliabiliteet* | Lognormaalne, Weibull, Beta (normeeritud) | Kontrolli sümmeetriat; lognormaalsus sobib paremini “kõrvale” suunatud andmetele. | | *Jooned & ooteajad* | Eksponentsiaalne / Gamma (M/M/1, M/G/1) | Kas teenindusaeg on konstant või varieeruv? | | *Õnnetused* | Poisson → NB → zero‑inflated mudelid | Analüüsi nullide osakaalu ja dispersiooni. | **Parameetriseerimise tööriistad:** - **Maximum Likelihood Estimation (MLE)** – enamikus statistika‑pakettides (R, Python `statsmodels`, Stata). - **Metoodiline momentid** – kiire hinnang esialgseteks väärtusteks. - **Bayesi lähenemine (MCMC)** – eriti segamudelite ja hierarhiliste logitide puhul. --- ## 8. Lõppsõna Statistilised jaotused on transpordiplaneerimise “keel”, millega kirjeldame olemasolevaid nähtusi ning loome usaldusväärseid prognoose tulevikuks. Õige jaotus valib **andmete tüüp, hajuvuse taseme** ja **analüüsi eesmärgi** järgi. Praktikas kasutatakse sageli mitme jaotuse kombinatsiooni (näiteks segatud Poissoni + NB või lognormaalse reisi‑aja + multinomi‑logit reisijate modeeli sisendina). Kui sul on konkreetne andmekogum (nt liiklusvood, reisimooduste küsitlused vms) ja vajad abi parimajaotusliku mudeli valimisel või koodi näitel, anna julgelt teada – aitan koostada täpsema analüüsi!