Obsidian/Doktoritöö/Liiklussageduse kaudne hindamine/02_Metoodika/10 Teoreetiline raam - Laplacian ja optimaalne transport.md

---

tags: [doktoritöö, metoodika, teooria, laplacian, optimal-transport, spektraalne]

loodud: 2026-09-15

10 Teoreetiline raam: Laplacian, difusioon ja optimaalne transport

Taust

Ajend: @mathemetica tviit Laplace'i operaatorist ∇²u – "lokaalne keskmine vs punkti väärtus": difusioon (soojusvõrrand), lained, Schrödinger; Laplace uuris seda gravitatsioonipotentsiaalide juures.

Küsimus: kas doktoritöö (liiklusmahud kohalike teede väljumispunktides hõredas piirkonnas) saab siduda mõne sügavama matemaatilise teooriaga nii, et see oleks ka transpordiplaneerimises huvitav?

Viis silda

1. Võrgu Laplacian = liikumise generaator. L = D − A; soojusvõrrand võrgul ∂u/∂t = −Lu. Kui liikumine on difusioonilaadne, siis liikluskoormus = vool ja väljumispunktid = ääretingimused.
2. Kirchhoffi seadused → Dirichlet' ülesanne. Servajuhtivus (nt 1/pikkus) × potentsiaalide vahe = vool. Küsimus "kui palju liikumist läbib iga kohalik tee, kui väljumispunktide mahud on teada" = harmooniline rajaprobleem (Lφ = 0 sisemuses, φ ette antud väljumispunktides) – range, mitte heuristiline formulatsioon.
3. Current-flow / random-walk betweenness (Brandes & Fleischer 2005; Newman 2005) – arvestab kõiki teid tõenäosusega (erinevalt lühima tee betweenness'ist).
4. Spektraalne graafiteooria (Fiedler 1973; Cheeger) – L teine ominvektor annab loomuliku lõike → väljumispiirkonnad ja screenline'id; seotud Wang & Mao 2018 "optimum closed cut"-iga.
5. Entroopia + optimaalne transport. Wilson (1967) entroopia-maksimeerimine annab gravitatsioonimudeli; Sinkhorn/IPF (Furness) = entroopiline OT (Cuturi 2013; Peyré & Cuturi 2019). JKO (1998): soojusvõrrand = entroopia gradientvool Wassersteini ruumis. Edasi: mean-field games (Lasry & Lions 2007).

Pilootkatse: kas struktuurne difusioon ennustab liiklust? (Valga vald)

Andmed: Valga vald, kohalik teedevõrk (3 793 sõlme, 3 465 serva) · Transpordiameti 2025 loendused (n = 953) · skriptid liiklussagedus/theory_pilot.py, theory_extra.py · väljundid results/theory_pilot/

Grupp	n	Gravitatsioon	Random-walk BC	Lühima tee BC	Current-flow BC
Kõik	953	+0.348	+0.163/+0.169	+0.125	n/a*
Kõrvalmaanteed	652	+0.331	+0.235	+0.168	n/a*
Tugimaanteed	190	+0.426	+0.081	+0.138	n/a*
Põhimaanteed	111	−0.150	0.000	−0.097	n/a*
Teisaldatav loendus	720	+0.329	+0.111	+0.095	n/a*

* Current-flow on defineeritud ainult sidusas komponendis; loenduspunktidest on suurimas komponendis vaid 46 (alamhulgal ρ = −0.27).

Struktuursed leiud:

• Võrk on äärmiselt killustunud: 618 komponenti (suurim 635 sõlme, siis 137/131/95/…); väljumispunktid on hajutatud – suurimas komponendis vaid 73.
• Fiedleri lõige on degeneratiivne: λ₂ ≈ 0.0005 ja parim lõige = 1 serv (0.7 km, 0.9% võrgust) → suurim komponent on peaaegu puu ühe kitsaskohaga.

Järeldus:

• Laplaciani/difusiooni-betweenness annab väikese parenduse lühima tee meetodile (Kõrvalmaanteedel 0.235 vs 0.168), aga jääb selgelt nõudlusmudelile alla (0.33–0.43). Current-flow'ga parendust ei tule.
• Miks: hõre maavõrk on fragmenteerunud ja puulaadne – struktuur ei määra liiklust, selle määrab nõudlus (rahvastik, atraktorid) + väljumispunktide mahud.
• Kus teooria siiski annab väärtust: (a) kitsaskohtade/kriitiliste servade tuvastus (Fiedler/min-cut → haavatavus, loendusjoonte koht); (b) range raam, kus väljumispunktid = ääretingimused ja sisemine jaotus lahendatakse Laplaciani abil; (c) OT/entroopia keel gravitatsioonimudeli jaoks (avaldamisväärtusega teooria-osa).

Soovitused edasiseks

1. Hübriidvalem: gravitatsioon annab väljumispunktide mahud → Laplaciani Dirichlet' lahendus annab sisemise jaotuse servadele. Testida loendustega (see on uus, range hübriid).
2. Fiedler/min-cut praktikas: kus panna loendusjooned (screenlines) ja millised servad on kriitilised (võrgu haavatavus).
3. Artikli teooria-osa: entroopia = gravitatsioon = entroopiline optimaalne transport (Wilson ↔ Cuturi/Peyré); MFG tuleviku suund.
4. Korrata Otepää/Tõrva/Võru peale – kas near-tree struktuur püsib (hüpotees: jah).

Kirjandus (Zoteros, kogumik „doktoritöö")

Teos	DOI	Zotero key
Doyle & Snell (1984) Random Walks and Electric Networks	10.5948/upo9781614440222	EPUEPC7D
Masuda et al (2017) Random walks and diffusion on networks	10.1016/j.physrep.2017.07.007	EQQGRP5K
Brandes & Fleischer (2005) Centrality Measures Based on Current Flow	10.1007/978-3-540-31856-9_44	TCPN5CQ3
Newman (2005) Betweenness based on random walks	10.1016/j.socnet.2004.11.009	UE8ZIG43
Fiedler (1973) Algebraic connectivity of graphs	10.21136/cmj.1973.101168	KA9UQMBZ
Wilson (1967) A statistical theory of spatial distribution models	10.1016/0041-1647(67)90035-4	92E5EE3U
Cuturi (2013) Sinkhorn Distances	10.48550/arxiv.1306.0895	6XSR9PK8
Peyré & Cuturi (2019) Computational Optimal Transport	10.1561/2200000073	FP6H4HQM
Jordan–Kinderlehrer–Otto (1998) Variational Formulation of Fokker–Planck	10.1137/s0036141096303359	CABX2E37
Lasry & Lions (2007) Mean field games	10.1007/s11537-007-0657-8	EZAVWB3Z
Ji & Geroliminis (2012) Spatial partitioning of urban transportation networks	10.1016/j.trb.2012.08.005	EUBQNCEB
Batty (1974) Spatial Entropy	10.1111/j.1538-4632.1974.tb01014.x	SFRZR9F7

Väljundid

• liiklussagedus/results/theory_pilot/theory_results.csv – korrelatsioonitabel
• liiklussagedus/results/theory_pilot/theory_vs_counts.csv – ühendatud andmed
• liiklussagedus/results/theory_pilot/fiedler_summary.json – lõike kokkuvõte
• liiklussagedus/results/theory_pilot/structure_summary.json – komponentide struktuur

---

LISA (mitme valla võrdlus + hübriidmudel)

Neli valda — kohalik teedevõrk (2025 loendused)

Vald	Sõlmi	Komponente	Suurim	lambda2	Lõik (servi)	rho difusioon (rw-BC)	rho gravitatsioon	Loendusridu
Valga	3 697	616	572	0.00050	1	+0.156	+0.348	603
Otepää	4 060	771	212	0.00135	2	+0.059	+0.143	733
Võru	8 289	1 346	422	0.00022	1	+0.047	+0.124	938
Tõrva	3 003	567	219	0.00047	1	–	–	0 *

* Tõrva kohta valideerimisfailis loendusridu ei ole (crosswalk puudub) — andmete lünk.

Hüpotees kinnitunud: near-tree struktuur (lambda2 ~ 10^-4 ... 10^-3, lõik = 1–2 serva) kordub kõigis valdades; struktuurne ennustusjõud on nõrk, nõudlusmudel on igal pool parem.

Hübriidmudel (Valga)

• Gravitatsiooni väljumismahud -> Laplaciani Dirichlet' lahend (suurim komponent 572 sõlme, 71 väljapääsu, gravitatsiooni kate 71/71) -> 659 servavoogu, max |voog| 8.6.
• Kontroll (sissevool vs gravitatsioon): rho = +0.356.
• Oluline teoreetiline nüanss: harmoonilises lahendis on piiriväärtused potentsiaalid, mitte mahud — seetõttu ei taastu antud väljumismahud automaatselt. Õige vorm on injektsiooniprobleem (allikad nõudlussõlmedes, neelud väljapääsudes) — see on järgmine samm.
• Ristvalideerimine (rank-OLS, 2 osahulka): hübriid 0.307 / 0.351 vs gravitatsioon 0.348 / 0.389 -> struktuurne tunnus ei lisa gravitatsioonile infot.

Väljundid: results/hybrid_pilot/municipalities_summary.json, hybrid_cv.json, valga_hybrid_flows.csv · skript hybrid_pilot.py