10 Teoreetiline raam - Laplacian ja optimaalne transport.md 18 KB
tags: [doktoritöö, metoodika, teooria, laplacian, optimal-transport, spektraalne]
loodud: 2026-09-15
10 Teoreetiline raam: Laplacian, difusioon ja optimaalne transport
Taust
Ajend: @mathemetica tviit Laplace'i operaatorist ∇²u – "lokaalne keskmine vs punkti väärtus": difusioon (soojusvõrrand), lained, Schrödinger; Laplace uuris seda gravitatsioonipotentsiaalide juures.
Küsimus: kas doktoritöö (liiklusmahud kohalike teede väljumispunktides hõredas piirkonnas) saab siduda mõne sügavama matemaatilise teooriaga nii, et see oleks ka transpordiplaneerimises huvitav?
Viis silda
- Võrgu Laplacian = liikumise generaator.
L = D − A; soojusvõrrand võrgul∂u/∂t = −Lu. Kui liikumine on difusioonilaadne, siis liikluskoormus = vool ja väljumispunktid = ääretingimused. - Kirchhoffi seadused → Dirichlet' ülesanne. Servajuhtivus (nt 1/pikkus) × potentsiaalide vahe = vool. Küsimus "kui palju liikumist läbib iga kohalik tee, kui väljumispunktide mahud on teada" = harmooniline rajaprobleem (
Lφ = 0sisemuses, φ ette antud väljumispunktides) – range, mitte heuristiline formulatsioon. - Current-flow / random-walk betweenness (Brandes & Fleischer 2005; Newman 2005) – arvestab kõiki teid tõenäosusega (erinevalt lühima tee betweenness'ist).
- Spektraalne graafiteooria (Fiedler 1973; Cheeger) –
Lteine ominvektor annab loomuliku lõike → väljumispiirkonnad ja screenline'id; seotud Wang & Mao 2018 "optimum closed cut"-iga. - Entroopia + optimaalne transport. Wilson (1967) entroopia-maksimeerimine annab gravitatsioonimudeli; Sinkhorn/IPF (Furness) = entroopiline OT (Cuturi 2013; Peyré & Cuturi 2019). JKO (1998): soojusvõrrand = entroopia gradientvool Wassersteini ruumis. Edasi: mean-field games (Lasry & Lions 2007).
Pilootkatse: kas struktuurne difusioon ennustab liiklust? (Valga vald)
Andmed: Valga vald, kohalik teedevõrk (3 793 sõlme, 3 465 serva) · Transpordiameti 2025 loendused (n = 953) · skriptid liiklussagedus/theory_pilot.py, theory_extra.py · väljundid results/theory_pilot/
| Grupp | n | Gravitatsioon | Random-walk BC | Lühima tee BC | Current-flow BC |
|---|---|---|---|---|---|
| Kõik | 953 | +0.348 | +0.163/+0.169 | +0.125 | n/a* |
| Kõrvalmaanteed | 652 | +0.331 | +0.235 | +0.168 | n/a* |
| Tugimaanteed | 190 | +0.426 | +0.081 | +0.138 | n/a* |
| Põhimaanteed | 111 | −0.150 | 0.000 | −0.097 | n/a* |
| Teisaldatav loendus | 720 | +0.329 | +0.111 | +0.095 | n/a* |
* Current-flow on defineeritud ainult sidusas komponendis; loenduspunktidest on suurimas komponendis vaid 46 (alamhulgal ρ = −0.27).
Struktuursed leiud:
- Võrk on äärmiselt killustunud: 618 komponenti (suurim 635 sõlme, siis 137/131/95/…); väljumispunktid on hajutatud – suurimas komponendis vaid 73.
- Fiedleri lõige on degeneratiivne: λ₂ ≈ 0.0005 ja parim lõige = 1 serv (0.7 km, 0.9% võrgust) → suurim komponent on peaaegu puu ühe kitsaskohaga.
Järeldus:
- Laplaciani/difusiooni-betweenness annab väikese parenduse lühima tee meetodile (Kõrvalmaanteedel 0.235 vs 0.168), aga jääb selgelt nõudlusmudelile alla (0.33–0.43). Current-flow'ga parendust ei tule.
- Miks: hõre maavõrk on fragmenteerunud ja puulaadne – struktuur ei määra liiklust, selle määrab nõudlus (rahvastik, atraktorid) + väljumispunktide mahud.
- Kus teooria siiski annab väärtust: (a) kitsaskohtade/kriitiliste servade tuvastus (Fiedler/min-cut → haavatavus, loendusjoonte koht); (b) range raam, kus väljumispunktid = ääretingimused ja sisemine jaotus lahendatakse Laplaciani abil; (c) OT/entroopia keel gravitatsioonimudeli jaoks (avaldamisväärtusega teooria-osa).
Soovitused edasiseks
- Hübriidvalem: gravitatsioon annab väljumispunktide mahud → Laplaciani Dirichlet' lahendus annab sisemise jaotuse servadele. Testida loendustega (see on uus, range hübriid).
- Fiedler/min-cut praktikas: kus panna loendusjooned (screenlines) ja millised servad on kriitilised (võrgu haavatavus).
- Artikli teooria-osa: entroopia = gravitatsioon = entroopiline optimaalne transport (Wilson ↔ Cuturi/Peyré); MFG tuleviku suund.
- Korrata Otepää/Tõrva/Võru peale – kas near-tree struktuur püsib (hüpotees: jah).
Kirjandus (Zoteros, kogumik „doktoritöö")
| Teos | DOI | Zotero key |
|---|---|---|
| Doyle & Snell (1984) Random Walks and Electric Networks | 10.5948/upo9781614440222 | EPUEPC7D |
| Masuda et al (2017) Random walks and diffusion on networks | 10.1016/j.physrep.2017.07.007 | EQQGRP5K |
| Brandes & Fleischer (2005) Centrality Measures Based on Current Flow | 10.1007/978-3-540-31856-9_44 | TCPN5CQ3 |
| Newman (2005) Betweenness based on random walks | 10.1016/j.socnet.2004.11.009 | UE8ZIG43 |
| Fiedler (1973) Algebraic connectivity of graphs | 10.21136/cmj.1973.101168 | KA9UQMBZ |
| Wilson (1967) A statistical theory of spatial distribution models | 10.1016/0041-1647(67)90035-4 | 92E5EE3U |
| Cuturi (2013) Sinkhorn Distances | 10.48550/arxiv.1306.0895 | 6XSR9PK8 |
| Peyré & Cuturi (2019) Computational Optimal Transport | 10.1561/2200000073 | FP6H4HQM |
| Jordan–Kinderlehrer–Otto (1998) Variational Formulation of Fokker–Planck | 10.1137/s0036141096303359 | CABX2E37 |
| Lasry & Lions (2007) Mean field games | 10.1007/s11537-007-0657-8 | EZAVWB3Z |
| Ji & Geroliminis (2012) Spatial partitioning of urban transportation networks | 10.1016/j.trb.2012.08.005 | EUBQNCEB |
| Batty (1974) Spatial Entropy | 10.1111/j.1538-4632.1974.tb01014.x | SFRZR9F7 |
Väljundid
liiklussagedus/results/theory_pilot/theory_results.csv– korrelatsioonitabelliiklussagedus/results/theory_pilot/theory_vs_counts.csv– ühendatud andmedliiklussagedus/results/theory_pilot/fiedler_summary.json– lõike kokkuvõteliiklussagedus/results/theory_pilot/structure_summary.json– komponentide struktuur
LISA (mitme valla võrdlus + hübriidmudel)
Neli valda — kohalik teedevõrk (2025 loendused)
| Vald | Sõlmi | Komponente | Suurim | lambda2 | Lõik (servi) | rho difusioon (rw-BC) | rho gravitatsioon | Loendusridu |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Valga | 3 697 | 616 | 572 | 0.00050 | 1 | +0.156 | +0.348 | 603 |
| Otepää | 4 060 | 771 | 212 | 0.00135 | 2 | +0.059 | +0.143 | 733 |
| Võru | 8 289 | 1 346 | 422 | 0.00022 | 1 | +0.047 | +0.124 | 938 |
| Tõrva | 3 003 | 567 | 219 | 0.00047 | 1 | – | – | 0 * |
* Tõrva kohta valideerimisfailis loendusridu ei ole (crosswalk puudub) — andmete lünk.
Hüpotees kinnitunud: near-tree struktuur (lambda2 ~ 10^-4 ... 10^-3, lõik = 1–2 serva) kordub kõigis valdades; struktuurne ennustusjõud on nõrk, nõudlusmudel on igal pool parem.
Hübriidmudel (Valga)
- Gravitatsiooni väljumismahud -> Laplaciani Dirichlet' lahend (suurim komponent 572 sõlme, 71 väljapääsu, gravitatsiooni kate 71/71) -> 659 servavoogu, max |voog| 8.6.
- Kontroll (sissevool vs gravitatsioon): rho = +0.356.
- Oluline teoreetiline nüanss: harmoonilises lahendis on piiriväärtused potentsiaalid, mitte mahud — seetõttu ei taastu antud väljumismahud automaatselt. Õige vorm on injektsiooniprobleem (allikad nõudlussõlmedes, neelud väljapääsudes) — see on järgmine samm.
- Ristvalideerimine (rank-OLS, 2 osahulka): hübriid 0.307 / 0.351 vs gravitatsioon 0.348 / 0.389 -> struktuurne tunnus ei lisa gravitatsioonile infot.
Väljundid: results/hybrid_pilot/municipalities_summary.json, hybrid_cv.json, valga_hybrid_flows.csv · skript hybrid_pilot.py
LISA 2: Injektsioonimudel ja harmooniline mõõt (2026-09-16)
Mis tehti
- Injektsioonipõhine hübriid (
injection_pilot.py): allikad = nõudlus kohalikes sõlmedes (WorldPop per node), neelud = gravitatsiooni väljumismahud; lahendLφ = (neelud − nõudlus)→ sisemine voogude väli (659 serva,results/injection_pilot/valga_injection_flows.csv). Kontroll: sisenev voog vs gravitatsiooni neel ρ = +0.963 (konstruktsiooni kohaselt). - Harmooniline mõõt (
harmonic_pilot.py) — parameetrivaba struktuurne ennustaja:harm[b] = Σ_i nõudlus_i · P(jalutuskäik i-st absorbedub väljapääsus b)(Laplaciani Dirichlet' lahend komponendi kaupa; ei kasuta gravitatsiooni ega loendusi).
Tulemused: harmooniline mõõt vs gravitatsioonimudel
| Vald | n | harm (kõik) | grav (kõik) | harm (kõrvalmnt) | grav (kõrvalmnt) |
|---|---|---|---|---|---|
| Valga | 953 | +0.360 | +0.348 | +0.381 | +0.331 |
| Otepää | 1117 | +0.156 | +0.143 | +0.161 | +0.182 |
| Võru | 1995 | +0.115 | +0.124 | +0.140 | +0.113 |
Ristvalideerimine (grav + harm vs grav): lisanduvat kasu ei ole (mõlemad mõõdavad sama infot) — nt Valga pool1 0.377 vs 0.380, pool2 0.324 vs 0.320.
Peamine järeldus: parameetrivaba harmooniline mõõt on gravitatsioonimudeliga võrdväärne (Valgas ja Otepääl veidi parem, Võrus veidi nõrgem) → hõredal maal piisab liikumise kirjeldamiseks nõudluse jaotusest + võrgu topoloogiast, ilma kauguslagunemise parameetritega.
Allika piirang: Valga suurima komponendi alamhulgal (n=47) oli harmooniline mõõt erakordselt tugev (+0.565; kõrvalmaanteedel +0.756) — kuid see on väike ja valikuline alamhulk, vajab kinnitust suurematel sidusatel võrkudel.
⚠️ Tõrva: validation_2025.csv-s puuduvad Tõrva read täielikult (vald väärtused: voru 1995, otepaa 1117, valga 953; kokku 4065). Crosswalk'i koostamise skripti projektist ei leidnud — vajab eraldi tegemist (või on omaette töö).
Väljundid: results/injection_pilot/, results/harmonic_pilot/ · skriptid injection_pilot.py, harmonic_pilot.py
LISA 3: Tõrva vald (ref-tasemel crosswalk, 2026-09-16)
Tõrva lõigu-täpne crosswalk puudub (vt allpool), seega kasutati ref-tasemel AKÖL-i (tee keskmine, sama konventsioon nagu liiklusatlas). See on kare andmestik: AKÖL on tee kohta konstantne → hajuvus tee sees puudub.
Andmed: 862 väljumispunkti rida (857 AKÖL-iga); neist 276 riikliku tee ref-iga (< 1000) ja 586 kohaliku tee ref-iga. Valdav loenduse liik: teisaldatav (781), mudel (76).
| Grupp | n | Harmooniline mõõt | Gravitatsioon | harm~grav |
|---|---|---|---|---|
| Kõik | 855 | +0.181 | +0.227 | +0.736 |
| Riiklik ref | 275 | +0.075 | +0.170 | +0.853 |
| Kohalik ref | 580 | +0.015 | +0.089 | +0.617 |
| Tugimnt | 108 | +0.143 | +0.155 | +0.809 |
| Kõrvalmnt | 580 | +0.015 | +0.089 | +0.621 |
| Allikas: mudel | 76 | +0.059 | +0.114 | +0.521 |
Ristvalideerimine: grav+harm ≤ grav (pool1 0.090 vs 0.131; pool2 0.276 vs 0.319).
Tõlgendus:
- Kareda ref-tasemel AKÖL-iga jääb gravitatsioonimudel paremaks ka Tõrvas; harmooniline mõõt ja gravitatsioon on omavahel tugevalt korreleeritud (ρ = 0.74–0.85), mis kinnitab põhijäreldust: mõlemad mõõdavad sama infot (nõudlus + kättesaadavus).
- Tõrva numbrid ei ole 1:1 võrreldavad Valga/Otepää/Võru-ga (seal on lõigu-täpsus). Seega Tõrva sobib lisatõenduseks/piirangu-arvutuseks, mitte peamiseks tulemuseks.
- ⚠️ 586/862 väljumispunkti langesid kohaliku tee ref-ile (kohalikud teed on loendusfailis samuti, peamiselt mudel/teisaldatav) → võrdlus ei ole rangelt „riigitee loendus".
Väljundid: results/harmonic_pilot/torva_results.csv, torva_harm_vs_counts.csv, torva_summary.json · skript torva_harmonic.py
Crosswalk: results/validation/validation_2025_torva.csv (ref-tasemel; liik="ref-tasemel") · validation_2025_with_torva.csv (4927 rida, 4 valda)
LISA 4: Tõrva lõigu-täpsusega (asendab LISA 3 järeldused)
Algne crosswalk-meetod leiti üles opencode sessiooni ajaloost (ses_031f7836fffew52IWnibmicLD8, 06.08.2026):
- riiklikud servad (ref) valla graafist; väljumispunkt → lähim serv (ref, dist);
- per-ref graaf, kaugus ühest otspunktist (aste 1) →
(ref, node) → kaugus tee algusest; - sama ref-i loenduslõik, mille [Algus m, Lõpp m] katab selle kauguse (muidu lähim lõik).
Replikatsiooni valideerimine: Valga 949/953 (100%), Otepää 1064/1117 (95%), Võru 1989/1995 (100%) — sama loenduslõik (HL) kui olemasolevas failis.
Tõrva tulemused (861 rida, 854 AKÖL-iga; liik: teisaldatav 736, mudel 66, statsionaarne 52):
| Grupp | n | Harmooniline mõõt | Gravitatsioon | harm~grav |
|---|---|---|---|---|
| Kõik | 853 | +0.136 | +0.160 | +0.738 |
| Kõrvalmnt | 579 | −0.047 | −0.014 | +0.625 |
| Tugimnt | 109 | −0.049 | −0.022 | +0.800 |
| Põhimnt | 165 | −0.230 | −0.257 | +0.880 |
| teisaldatav | 735 | +0.201 | +0.232 | +0.752 |
| mudel | 66 | −0.153 | −0.143 | +0.546 |
| statsionaarne | 52 | −0.293 | −0.293 | +0.490 |
Ristvalideerimine: grav+harm ≤ grav (0.117/0.146 vs 0.138/0.184).
Tõlgendus: ka Tõrvas on harmooniline mõõt gravitatsioonimudeliga võrdväärses suurusjärgus (veidi nõrgem) ja mõõdikud on omavahel tugevalt korreleeritud (ρ = 0.49–0.88) → kinnitab põhijäreldust. Tõrva üldine tase on madalam kui Valgas/Otepääs; kõrvalmaanteedel on mõlemad nullilähedased (erinevalt Valgast) — vajab eraldi uurimist (kas andmete või võrgu struktuuri tõttu).
Failid: results/validation/validation_2025_torva.csv (lõigu-täpne) · validation_2025_with_torva.csv (4 valda) · results/harmonic_pilot/torva_* · skriptid crosswalk_orig.py, torva_harmonic2.py
LISA 5: Tõrva kõrvalmaanteede nulliläheduse diagnostika (2026-09-16)
Küsimus: miks on Tõrva kõrvalmaanteedel ρ ≈ 0 (harm −0.047 / grav −0.014), kui Valgas +0.38/+0.33 ja Otepääs +0.16/+0.18?
Välistatud (ei ole artefakt):
- Crosswalk'i orientatsioon: kõigis neljas vallas 0 tagurpidi ahelat; täpne lõigu-katvus Tõrvas 559/579 (96%) — vaste on korras.
- Andmetüüp: ka ainult teisaldatavate loenduste alamhulgas on Tõrva ρ = −0.015 (Valga +0.307, Otepää +0.204, Võru +0.160) → ei ole „modelloodud andmete" küsimus.
- Hajuvus: Tõrva AKÖL std 129 (Valga 165, Otepää 517) ja 41,6% ridades on „ühe lõiguga" teed (Valga 39,9%) → mõjutab, aga ei seleta nulli.
Leitud põhjus — loendused on Tõrvas lokaalsest nõudlusest lahutatud:
- Teede kaupa, kus AKÖL varieerub (Tõrva n=338):
| Vald | AKÖL ~ rahvastik | AKÖL ~ trips | AKÖL ~ harm |
|---|---|---|---|
| Valga | +0.317 | +0.315 | +0.358 |
| Otepää | +0.306 | +0.306 | +0.259 |
| Võru | +0.002 | +0.002 | +0.034 |
| Tõrva | −0.117 | −0.117 | −0.187 |
- AKÖL-kvartiilid (keskmine trips):
- Valga: 0.5 → 2.6 → 3.9 → 55.1 (monotoonne ✓)
- Tõrva: 3.4 → 1.9 → 20.2 → 9.9 (mittemonotoonne ✗) — kõige suurema loendusega teed kannavad vähem mudeli ennustatud nõudlust.
Tõlgendus: Tõrva kõrvalmaanteede loenduste varieeruvust ei määra kohalik nõudlus, vaid läbisõit/feeder-liiklus (Tõrvat läbivad põhimaanteed 6, 52, 69, 73; kõrvalmaanteed toimivad keskuste vaheliste ühendustena). Kohaliku nõudluse eeldus — meie meetodi alus — ei kehti seal. See on sisuline piirang, mitte torustiku viga.
Järeldus artiklile:
- Meetodi kehtivus on tingimuslik: töötab seal, kus loendused peegeldavad kohalikku nõudlust (Valga, Otepää; Võru osaliselt); ei tööta läbisõidu-domineeritud kõrvalteedel (Tõrva).
- See toetab hübriidset/piiritingimustega lähenemist: põhimaanteede loendused kui ääretingimused (Laplaciani idee) aitaksid läbisõitu eraldi käsitleda.
- Tõrva → artikli heterogeensuse/piirangute näidisjuhtum.
Skriptid: diag_torva.py, diag_torva2.py, diag_torva3.py, diag_torva4.py, diag_torva5.py
LISA 6: Tõrva – feeder-hüpoteesi test ja andmekvaliteedi kontroll
Test 1: kas Tõrva kõrvalmaanteede loendused sõltuvad kaugusest põhimaanteest?
| Vald | n | AKÖL ~ kaugus põhimaanteest | <1 km: AKÖL~trips | ≥1 km: AKÖL~trips | AKÖL mediaan (<1 km / ≥1 km) |
|---|---|---|---|---|---|
| Valga | 652 | −0.363 | +0.422 | +0.266 | 324 / 95 |
| Otepää | 787 | +0.064 | +0.196 | +0.181 | 52 / 111 |
| Võru | 1569 | −0.059 | +0.143 | +0.146 | 107 / 186 |
| Tõrva | 579 | −0.024 | +0.065 | −0.077 | 170 / 132 |
→ Feeder-hüpotees EI kinnitunud: Tõrva kaugusefekt on olematu (−0.02, vs Valga −0.36) ja kauguse järgi jagamine ei taasta positiivset seost (mõlemad ≈ 0).
Test 2: kas asi on nõudlusandmetes (WorldPop vs ADS-aadressid)?
| Vald | AKÖL~pop (WorldPop) | AKÖL~pop (ADS) | AKÖL~trips_ads |
|---|---|---|---|
| Valga | +0.330 | +0.145 | +0.145 |
| Otepää | +0.182 | +0.055 | +0.055 |
| Võru | +0.113 | +0.128 | +0.128 |
| Tõrva | −0.014 | +0.023 | +0.023 |
→ ADS-põhine nõudlus on Tõrvas veidi parem (0.023), aga ikka nullilähedane; teistes valdades hoopis nõrgem kui WorldPop. Nõudlusallika vahetus ei seleta Tõrvat.
Test 3: loenduse liik ja aasta: kõigis valdades 100% aasta 2025; Tõrva kõrvalmaanteedel liik: teisaldatav 513, mudel 66 (sama muster kui teistel). → Andmetüüp pole põhjus.
Kokkuvõte: Tõrva kõrvalmaanteede nullilähedus ei ole seletatav crosswalk'iga, andmetüübiga, nõudlusallikaga ega lihtsa läbisõidu-kaugusega. Järeldus artiklile: tegu on heterogeensusega, mille põhjus vajab kohapõhist (QGIS) kontrolli — tõenäoliselt Tõrva kohalike teede kasutusmuster (linna ja keskuste vahelised kohalikud ühendused) ja/või väikeste maateede AKÖL-hinnangute müra. Tõrva jääb artiklisse piirangute/heterogeensuse näitena, mitte põhitõendusena.
Failid: results/harmonic_pilot/feeder_test.csv, *_distmain.csv · skriptid feeder_test.py, diag_torva6.py
LISA 7: Figuurid F1–F5 valmis (2026-09-17)
Genereeritud make_figures.py-ga → results/figures/ (300 dpi, inglise sildid):
- F1 – Valga võrk + väljumispunktid (1 048)
- F2 – 2×4 hajuvus: gravitatsioon & harmooniline mõõt vs loendused (log-log, ρ märgitud)
- F3 – spektraalne diagnoos: λ₂ ja komponentide arv valdade kaupa + Fiedleri lõige (Valga suurim komponent, lõikeserv punaselt)
- F4 – hübriidmudeli sisemised vood (gravitatsiooni mahud + Laplaciani marsruutimine)
- F5 – nelja valla võrdlus (ρ gruppide kaupa)
Pealkirjad (EN) on artikli tuumas (§11). Failid sünkroonitakse Dropboxi kaudu.