Obsidian/Statistika/Jaotused/Gamma-jaotus.md

---

tags:

• statistika ---

Gamma-jaotus on pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse laialdaselt statistilises modelleerimises, eriti siis, kui on tegemist ooteaegade, riskide või summadega pärast teatud arvu sündmusi. See on üldistus eksponentsiaaljaotusele, mis on gamma-jaotuse erijuht.

---

Peamised parameetrid

Gamma-jaotusel on kaks tüüpilist parameetristikku:

• Kuju $k$ (või $\alpha$) – määrab jaotuse kuju. Kui $k=1$, taandub see eksponentsiaaljaotuseks. Kui $k$ on suur, läheneb jaotus normaaljaotusele.
• Skala $ \theta $ või kiirus (rate) $\beta = 1/\theta $ – määrab jaotuse venitust/kokkusurumist. Kasutatakse kahte levinud tähistust:
  • Kujul $\text{Gamma}(k, \theta)$ – $\theta$ on skaala
  • Kujul $\text{Gamma}(k, \beta)$ – $\beta$ on kiirus (inverse scale)

Tihedusfunktsioon (PDF) on: $$ f(x; k, \theta) = \frac{x^{k-1} e^{-x/\theta}}{\theta^k \Gamma(k)}, \quad x > 0 $$ kus $\Gamma(k)$ on gammafunktsioon (faktoriaali üldistus reaalarvudele).

---

Olulised tunnused

• Keskväärtus: $E[X] = k \theta = k / \beta$
• Dispersioon: $\text{Var}[X] = k \theta^2 = k / \beta^2$
• Mood: $(k-1)\theta$, kui $k \ge 1$
• Tugi: $x > 0$ (positiivsed reaalarvud)

---

Kasutusalad

1. Ooteajad: Gamma-jaotus modelleerib aega $k$ sündmuse toimumiseni Poissoni protsessis (nt masina rikked, klienditeeninduse järjekorrad).
2. Kindlustusmatemaatika: Kahjusummade jaotuse modelleerimine.
3. Bayesi statistika: Kasutatakse Poissoni ja eksponentsiaaljaotuste eeljaotusena (konjugeeritud eeljaotus).
4. Hüdroloogia: Sademete hulga või jõe vooluhulga modelleerimine.
5. Töökindlus: Süsteemide eluea analüüs.

---

Seos teiste jaotustega

• [[Eksponentjaotus]]: $\text{Gamma}(1, \theta)$
• [[Hii-ruut jaotus]]: $\chi^2(\nu) = \text{Gamma}(\nu/2, 2)$
  
• [[Erlangi jaotus]]: Gamma kujul, kus $k$ on täisarv.

Jah, eksponentjaotus ja eksponentsiaaljaotus on sama tõenäosusjaotuse kaks erinevat nimetust eesti keeles. Tegemist on pideva tõenäosusjaotusega, mida kasutatakse laialdaselt näiteks:

• sündmuste vaheliste ajavahemike modelleerimiseks (Poissoni protsessis),
• usaldusväärsuse analüüsis (seadmete eluea modelleerimine),
• järjekorrateoorias ja riskianalüüsis.

Olulised omadused:

• Tihedusfunktsioon: ( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} ) (x ≥ 0, λ > 0)
• Keskmine: ( 1/\lambda )
• Hajuvus: ( 1/\lambda^2 )
• Mäluvaba omadus: ( P(X > s+t \mid X > s) = P(X > t) ) – see tähendab, et minevik ei mõjuta tuleviku ootust.

Terminoloogia selgitus:

• Eksponentjaotus – lühem ja otsetõlkevariant inglise keele sõnast exponential distribution.
• Eksponentsiaaljaotus – täpsem tõlge, mis rõhutab matemaatilist seost eksponentsiaalfunktsiooniga ( (\lambda e^{-\lambda x}) ).

Mõlemad terminid on korrektsed ja tähistavad üht ja sama jaotust. Soovitan oma töös (näiteks Obsidianis märkmete tegemisel) valida üks nimetus ja seda järjepidevalt kasutada, et vältida segadust.

Kokkuvõttes: need on sünonüümid – erinevus on ainult nimekujus, mitte matemaatilises sisus.