Obsidian/Statistika/Jaotused/Eksponentjaotus.md

---

tags:

• statistika ---

Eksponentjaotus (ingl exponential distribution) on pidev tõenäosusjaotus, mida kasutatakse sageli ajavahemike modelleerimiseks sündmuste vahel, mis toimuvad püsiva keskmise sagedusega (näiteks osakeste lagunemine, kõnede saabumine kõnekeskusesse, rikete vahelised ajad). See on tihedalt seotud Poissoni jaotusega – kui sündmuste arv ajaühikus allub Poissoni jaotusele, siis sündmuste vahelised ajad alluvad eksponentjaotusele.

Põhiomadused

• Tihedusfunktsioon:
  $$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 $$ kus $\lambda > 0$ on intensiivsusparameeter (keskmine sündmuste arv ajaühikus).

• Jaotusfunktsioon:
  $$ F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \ge 0 $$

• Oodatav väärtus (keskmine):
  $$ E[X] = \frac{1}{\lambda} $$ (ehk keskmine aeg sündmuste vahel)

• Dispersioon:
  $$ \text{Var}[X] = \frac{1}{\lambda^2} $$

Olulisim omadus: mälutus

Eksponentjaotus on mäluta – see tähendab, et tõenäosus, et sündmus toimub järgnevas $\Delta t$ ajavahemikus, ei sõltu sellest, kui kaua on juba oodatud. Matemaatiliselt: $$ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) $$ See omadus teeb selle ainulaadseks pidevate jaotuste seas (diskreetne analoog on geomeetriline jaotus).

Kasutusnäited

• Usaldusväärsuse analüüs (seadmete rikete vahelise aja modelleerimine)
• Telekommunikatsioon (kõnede saabumiste vaheline aeg)
• Füüsika (radioaktiivsete osakeste lagunemine)
• Juhuslike protsesside simulatsioonid

---

Seos teiste jaotustega

• [[Poissoni jaotus]] – eksponentjaotus kirjeldab aega kahe Poissoni protsessi sündmuse vahel.
• [[Gamma-jaotus]] – eksponentjaotus on Gamma-jaotuse erijuht, kus kuju parameeter $k = 1$.
• [[Weibulli jaotus]] – kui eksponentjaotus eeldab konstantset rikkesagedust, siis Weibull võimaldab seda muuta.