Obsidian/Statistika/Jaotused/Poissoni jaotus.md

---

tags:

• statistika ---

Poissoni jaotus on diskreetne tõenäosusjaotus, mis modelleerib sündmuste arvu kindlas aja-, ruumi- või mahupikus, eeldusel et sündmused toimuvad üksteisest sõltumatult ja keskmise sagedusega, mis on konstantne. Jaotuse töötas välja prantsuse matemaatik Siméon Denis Poisson (1781–1840) ja seda kasutatakse laialdaselt näiteks teaduses, inseneerias, rahanduses ja riskianalüüsis.

Poissoni jaotuse põhieeldused

1. Sündmused toimuvad juhuslikult ja üksteisest sõltumatult.
   – Ühe sündmuse toimumine ei mõjuta teise sündmuse toimumise tõenäosust.
2. Keskmine sündmuste arv (λ, lambda) on ajavahemikus või ruumiosas konstantne.
   – See tähendab, et intensiivsus on ühtlane.

3. Kahe sündmuse samaaegne toimumine on väga ebatõenäoline.
   – Praktikas eeldatakse, et sündmused on harvad või väga lühikesed.

   Jaotuse valem

   Tõenäosus, et antud ajavahemikus toimub täpselt k sündmust, arvutatakse järgmiselt:

$$ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!} $$

Kus:

• X – juhuslik suurus (sündmuste arv),
  
• k – sündmuste arv (mittenegatiivne täisarv: 0, 1, 2, …),
  
• λ – keskmine sündmuste arv samas ajavahemikus (λ > 0),
  
• e – naturaallogaritmi alus (u 2,71828),
  
• k! – faktoriaal (k · (k-1) · … · 1, 0! = 1).

Olulised omadused

• Keskväärtus: $E[X] = \lambda$
  
• Dispersioon: $Var[X] = \lambda$
  (see on eripära: Poissoni jaotuses on keskväärtus ja dispersioon võrdsed.)

• Mood: λ ümbruses (kui λ on täisarv, on moodid λ ja λ−1).

  Millal Poissoni jaotust kasutada?

• Aeg või ruum on fikseeritud – näiteks 1 tund, 1 km² ala, 10 minutit.

• Sündmused on haruldased, aga võimalikud (ei ole “kord kordist”).

• Iga sündmus on sõltuv teistele – ühe e‑posti saabumine ei muuda järgmise tõenäosust.

  Näited

• E‑postid
  Keskmine arv e‑poste tunnis = 5 (λ = 5).
  Poissoni jaotus annab meile võimaluse öelda: “Tõenäoliselt on mul täna umbes 0–10 e‑posti, kuid 3 või 4 on kõige tõenäolisemad”.

• Liiklus
  Ristmikule sõidab keskmiselt 12 autot minutis (λ = 12). Kui tahame teada, kui suur on võimalus, et järgmise minuti jooksul läbib just 10 autot, kasutame Poissoni valemit.

• Väike õnnestumine
  Vaatleme raamatut ja loeme, mitu kord sõna „õnn“ esineb leheküljel. Kui see juhtub keskmiselt 0,2 korda lehe kohta (λ = 0,2), siis on väga tõenäoline, et enamikul lehtedest ei ole seda sõna üldse.

  Miks Poissoni jaotus on kasulik?

• Lihtne arvutada – ainult üks parameeter λ.

• Kirjeldab hästi reaalmaailma olukordi, kus loeme juhuslikke, haruldasi sündmusi (nt vigade arv tootmisliinil, telefonikõned klienditeeninduses).

• Aitab planeerida – näiteks kui tead, et keskmiselt tuleb 8 klienti tunnis, saad hinnata, mitu töötajat vaja on.

Seos binoomjaotusega

Poissoni jaotust võib vaadelda binoomjaotuse piirjuhuna, kui katsete arv n on väga suur ja õnnestumise tõenäosus p väga väike, nii et keskmine $n \cdot p = \lambda$ jääb konstantseks. See muudab Poissoni jaotuse mugavaks mudeliks harvade sündmuste jaoks.

Kokkuvõte

Poissoni jaotus on lihtne, kuid võimas mudel sõltumatute harvade sündmuste loendamiseks fikseeritud vahemikus. Selle valem on kompaktne, kuid rakendused laialdased. Obsidianis saab teema struktureerida ja siduda teiste statistiliste mõistetega, muutes õppimise ja meeldejätmise tõhusamaks.

---

Seotud mõisted:

• [[Binoomjaotus]] – seos ja piirjuht
  
• [[Eksponentjaotus]] – Poissoni protsessi sündmustevaheline aeg
  
• [[[[Tõenäosusjaotus]]]] – üldine kategooria
  
• [[Statistiline modelleerimine]] – rakendusvaldkonnad