Binoomjaotus.md 2.1 KB
tags:
statistika
Mis on binoomjaotus?
Binoomjaotus on tõenäosusteoorias ja statistikas üks olulisemaid diskreetseid jaotusi. See kirjeldab olukorda, kus sooritatakse kindel arv sõltumatuid katseid (n), igal katsel on kaks võimalikku tulemust (nn "edu" ja "ebaedu"), ning edu tõenäosus (p) on igal katsel konstantne.
Peamised parameetrid
- n – katsete arv (positiivne täisarv)
- p – edu tõenäosus ühel katsel (0 ≤ p ≤ 1)
- q = 1-p – ebaedu tõenäosus
Millal kasutada binoomjaotust?
Binoomjaotust saab rakendada, kui on täidetud järgmised tingimused:
- Fikseeritud arv katseid (n on ette teada)
- Iga katse on sõltumatu (ühe katse tulemus ei mõjuta teisi)
- Igal katsel on ainult kaks võimalikku tulemust (nt. "peale" või "kiri", "haige" või "terve")
- Edu tõenäosus p on konstantne kõigi katsete vältel
Tõenäosusfunktsioon
Binoomjaotuse tõenäosus, et n katsest saadakse täpselt k edu, arvutatakse valemiga:
$$ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} $$
kus:
- $\binom{n}{k}$ on binoomkordaja (n üle k) – näitab, mitmel erineval viisil saab n katsest valida k edu.
- $p^k$ – edu tõenäosus k katsel
- $(1-p)^{n-k}$ – ebaedu tõenäosus ülejäänud katsetel
Näide
Viskame 10 korda ausat münti. "Eduks" loeme peale tulekut. Siis:
- n = 10
- p = 0,5
Kui tahame teada, kui suur on tõenäosus, et peale tuleb täpselt 6 korda: $$ P(X=6) = \binom{10}{6} (0,5)^6 (0,5)^4 = 210 \cdot 0,5^{10} \approx 0,205 $$
Olulised karakteristikud
- Keskväärtus (ootus): $E[X] = n \cdot p$
- Dispersioon: $Var[X] = n \cdot p \cdot (1-p)$
- Standardhälve: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$
Seos teiste jaotustega
- Kui n on suur ja p väike (~0,05 või väiksem), läheneb binoomjaotus Poissoni jaotusele.
- Kui n on suur ja p ei ole liiga lähedal 0-le ega 1-le, saab binoomjaotust ligikaudselt kirjeldada normaaljaotusega (keskmise ja dispersiooni abil).
Seotud mõisted:
- [[Bernoulli jaotus]]
- [[Poissoni jaotus]]
- [[Normaaljaotus]]