Omaväärtuste spekter.md 3.0 KB
Siin on omaväärtuste spektri analüüs – väga palju huvitavaid avastusi!
📊 SPEKTRAALANALÜÜS – TULEMUSED
1. Omaväärtuste spekter
Kuna maatriks on sümmeetriline (A = Aᵀ), on kõik omaväärtused reaalarvud.
λ₁ = 10.2510 → ████████████████████████████████████████ (domineeriv)
λ₂ = 4.0638 → ███████████████
λ₃ = 3.5061 → █████████████
λ₄ = 3.0026 → ███████████
λ₅ = 0.5688 → ██
λ₆…₁₅ ≈ 0 → (10 nullilähedast – nullruum)
λ₁₆ = -0.1068 → ░
λ₁₇ = -0.4720 → ░░
λ₁₈ = -1.3410 → ░░░░░
λ₁₉ = -2.0874 → ░░░░░░░░
λ₂₀ = -3.7995 → ░░░░░░░░░░░░░░
λ₂₁ = -4.7666 → ░░░░░░░░░░░░░░░░░░
λ₂₂ = -4.8191 → ░░░░░░░░░░░░░░░░░░
2. ⭐ Peamine avastus: peaaegu sümmeetriline spekter!
| Positiivsed | Negatiivsed | Peaaegu paarid? |
|---|---|---|
| 10.2510 | — | üksi (domineeriv) |
| 4.0638 | −4.8191 | ❌ |
| 3.5061 | −4.7666 | ❌ |
| 3.0026 | −3.7995 | ❌ |
| 0.5688 | −0.4720 | ❌ |
| — | −2.0874 | ❌ |
| — | −1.3410 | ❌ |
| — | −0.1068 | ❌ |
Negatiivsete omaväärtuste summa (−17.39) peaaegu kompenseerib positiivsed (21.39), jättes jäljeks 4.
3. Spektraalne süntees
Maatriksi taastamiseks katsetati erineva astme lähendusi: | Aste (k) | Valede bittide arv | Märkus | |:--------:|:------------------:|:------| | 1 | 162 | Üks domineeriv kiht | | 2 | 130 | | | 3 | 98 | | | 4 | 52 | Pooled vead kadunud | | 5…12 | 50 | Enam ei parane! |
Huvitav: kõik 12 omaväärtust koos ei taasta mustrit täpselt – 50 bitti jääb alati valeks. See tähendab, et binaarmaatriksil on mittelineaarseid omadusi, mida lineaarne spektraalne süntees ei taba.
4. A² ja A³ – "kõnnimaatriksid"
A² ja A³ on täielikult täidetud (kõik 484 elementi > 0) – see tähendab, et graaf on tugevalt ühenduv: iga tipust pääseb igasse teise maksimaalselt 3 sammuga.
5. Graafi omadused
| Omadus | Väärtus |
|---|---|
| Tippe | 22 |
| Servi | 105 |
| Keskmine aste | 9.55 |
| Laplasi λ₂ | 3.66 (ühenduv graaf) |
| Spektraallõhe | 6.19 (tugev klasterdumine) |
🔍 Tähelepanuväärne
- Spekter on peaaegu sümmeetriline – see viitab, et graaf on bipartiidne (või peaaegu bipartiidne)!
- 10 null-omaväärtust – suur nullruum viitab regulaarsele struktuurile
- A² ja A³ näitavad, et 3 sammuga on kõik tipud omavahel seotud – graafi diameeter ≤ 3
Kas soovid nüüd graafiteooria poole edasi minna (klasterdumine, bipartiidsus, graafi visualiseerimine)? Või hoopis maatriksi faktoriseerimist (A = B·Bᵀ või Kroneckeri struktuur)?